Producto cartesiano y relaciones

Resolución

Para conjuntos finitos, |A\times B|=|A|\cdot|B|, no |A|+|B|. Además, el orden de los pares ordenados sí importa y el recorrido corresponde a los segundos elementos.

Considerando que \mathbb{N} incluye al 0:

N=\{0,1,2,3,4\} P=\{0,2,4\} Q=\{1,3\} R=\{-1,0,1\}

La cardinalidad de un producto cartesiano se calcula mediante |X\times Y|=|X|\cdot|Y|.

|N\times P|=5\cdot3=15 |N\times Q|=5\cdot2=10 |P\times Q|=3\cdot2=6 |N\times R|=5\cdot3=15

Los productos son:

N\times P=\{(0,0),(0,2),(0,4),(1,0),(1,2),(1,4),(2,0),(2,2),(2,4),(3,0),(3,2),(3,4),(4,0),(4,2),(4,4)\}

N\times Q=\{(0,1),(0,3),(1,1),(1,3),(2,1),(2,3),(3,1),(3,3),(4,1),(4,3)\}

P\times Q=\{(0,1),(0,3),(2,1),(2,3),(4,1),(4,3)\}

N\times R=\{(0,-1),(0,0),(0,1),(1,-1),(1,0),(1,1),(2,-1),(2,0),(2,1),(3,-1),(3,0),(3,1),(4,-1),(4,0),(4,1)\}

Además:

Q\times N=\{(1,0),(1,1),(1,2),(1,3),(1,4),(3,0),(3,1),(3,2),(3,3),(3,4)\}

Aunque |Q\times N|=|N\times Q|, sus pares ordenados son diferentes. Por tanto, generalmente Q\times N\ne N\times Q; el orden de los conjuntos sí importa.

En el diagrama a), A=\{a,e,o\} y B=\{j,u\}. Cada elemento de A se relaciona con cada elemento de B, por lo que la relación es A\times B.

En el diagrama b), A=\{-1,0,1\} y B=\{2,3,5,7\}. También aparecen todas las combinaciones posibles, por lo que la relación es A\times B.

Para M=\{2,4,6\} y N=\{1,3\}:

M\times N=\{(2,1),(2,3),(4,1),(4,3),(6,1),(6,3)\}

N\times M=\{(1,2),(1,4),(1,6),(3,2),(3,4),(3,6)\}

Para representarlos, se ubican estos pares como puntos (x,y) en el plano cartesiano.

Los valores de la primera coordenada son A=\{1,2,4,5,8\} y los de la segunda coordenada son B=\{2,6\}. Por tanto:

A\times B=\{(1,2),(1,6),(2,2),(2,6),(4,2),(4,6),(5,2),(5,6),(8,2),(8,6)\}

A=\{0,1,2,3\} B=\{2,3,4,5\}

Al combinar cada elemento de A con cada elemento de B:

A\times B=\{(0,2),(0,3),(0,4),(0,5),(1,2),(1,3),(1,4),(1,5),(2,2),(2,3),(2,4),(2,5),(3,2),(3,3),(3,4),(3,5)\}

La relación formada por los pares que cumplen x=y es:

R_1=\{(2,2),(3,3)\}