Concepto de relación
Una relación R de un conjunto A en un conjunto B es un subconjunto del producto cartesiano A\times B. El conjunto A es el conjunto de salida y B es el conjunto de llegada.
Se puede expresar por comprensión como:
R=\{(a,b)\mid a\in A\land b\in B\}\subseteq A\times B
Para determinar una relación por extensión, se forman únicamente los pares ordenados que cumplen la condición indicada.
Ejemplo 2
Relación «ser mayor que»
Se comparan los elementos de A=\{6,9\} con los de B=\{3,4,10\}. Se conservan los pares en los que la primera componente es mayor que la segunda:
- 6>3 y 6>4.
- 9>3 y 9>4.
- 6\not>10 y 9\not>10.
Por tanto:
R_1=\{(6,3),(6,4),(9,3),(9,4)\}
Relación definida por $y=x^3$
Se calcula el cubo de cada elemento de X=\{0,1,2,3\} y se verifica si el resultado pertenece a Y=\{0,1,3,8,27,81\}:
- 0^3=0, pero el ejemplo no incluye el par (0,0).
- 1^3=1, por lo que (1,1) pertenece a la relación.
- 2^3=8, por lo que (2,8) pertenece a la relación.
- 3^3=27, por lo que (3,27) pertenece a la relación.
Así, según la solución presentada:
R_2=\{(1,1),(2,8),(3,27)\}
Relación definida por $q=\sqrt{s}$
Al buscar la raíz cuadrada de un número positivo se consideran las raíces positiva y negativa. Se forman los pares indicados por la condición:
- (-1)^2=1, por lo que aparece (-1,1).
- 2^2=4 y (-2)^2=4, por lo que aparecen (2,4) y (-2,4).
- (-5)^2=25, por lo que aparece (-5,25).
Por tanto:
R_3=\{(-1,1),(2,4),(-2,4),(-5,25)\}
Ejemplo 3
Dados:
M=\{0,1,2,4\}
N=\{0,5,8,9,12,16\}
R=\{(0,0),(2,8),(4,16)\}
Se comparan las componentes de cada par:
- 0 es la cuarta parte de 0.
- 2 es la cuarta parte de 8, porque 8\div 4=2.
- 4 es la cuarta parte de 16, porque 16\div 4=4.
El elemento 1 no aparece porque su cuádruplo, 4, no pertenece al conjunto N. Por ello, la relación se describe como «ser la cuarta parte».
Propiedades de las relaciones
- Reflexiva: para todo a\in A, se cumple que (a,a)\in R.
- Simétrica: si (a,b)\in R, también (b,a)\in R.
- Transitiva: si (a,b)\in R y (b,c)\in R, entonces (a,c)\in R.
