Dados P=\1,2,3,11\ y Q=\6,9,10,16\, determina R_1 de Q en P para “ser menor que”, R_2 de P en Q para “ser la mitad”, R_3=\(p,q) q=p^2\ y R_4=\(q,p) qp<20\.

R_1=\(6,11),(9,11),(10,11)\, R_2=\(3,6)\, R_3=\(3,9)\, R_4=\(6,1),(6,2),(6,3),(9,1),(9,2),(10,1),(16,1)\

Escribe en palabras la relación representada en cada diagrama.

a) 8 se relaciona con 2 y 27 con 3; b) ser múltiplo de; c) ser divisor de

Dados S=\-2,-1,0,1,2\, T=\-3,0,3\ y R=\(x,y) S× T y=x^2-1\, determina el diagrama, los pares, los conjuntos de partida y llegada, el dominio y el recorrido.

R=\(-2,3),(-1,0),(1,0),(2,3)\, partida=S, llegada=T, dom=\-2,-1,1,2\, rec=\0,3\

Dados P=\0,1,2,3,4\, Q=\-1,0,1,2,3,4,\ y R=\(x,y) P× Q y=2x-3\, determina R, su dominio y su recorrido.

R=\(1,-1),(2,1),(3,3),(4,5)\, dom=\1,2,3,4\, rec=\-1,1,3,5\

Analiza la reflexividad, simetría y transitividad de las relaciones dadas en A× A, con A=\1,2,3\.

R_1: no reflexiva, simétrica y transitiva; R_2: reflexiva, no simétrica y transitiva; R_3: reflexiva, simétrica y transitiva

Determina si R=\(a,a),(a,b),(b,a),(b,b),(c,c)\, definida en Q=\a,b,c\, es una relación de equivalencia.

Sí, R es una relación de equivalencia.

Investiga el proceso para determinar el producto cartesiano entre intervalos, consulta un ejemplo y exponlo en clase.

A× B=\(1,3),(1,4),(2,3),(2,4)\

Libro de Matemática 9 EGB

Ministerio de Educación del Ecuador

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Relaciones, dominio, recorrido y propiedades

📄 ejercicios Matemática 🎓 secundaria · 9° EGB Ecuador 🇪🇨 EC 🗣 Español

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$R_1=\{(6,11),(9,11),(10,11)\}$ ; $R_2=\{(3,6)\}$ ; $R_3=\{(3,9)\}$ ; $R_4=\{(6,1),(6,2),(6,3),(9,1),(9,2),(10,1),(16,1)\}$ .
$R=\{(-2,3),(-1,0),(1,0),(2,3)\}$ ; partida: $S$ ; llegada: $T$ ; $\operatorname{dom}=\{-2,-1,1,2\}$ ; $\operatorname{rec}=\{0,3\}$ .
$R=\{(1,-1),(2,1),(3,3),(4,5)\}$ ; $\operatorname{dom}=\{1,2,3,4\}$ ; $\operatorname{rec}=\{-1,1,3,5\}$ .
a) No reflexiva, simétrica y transitiva. b) Reflexiva, no simétrica y transitiva. c) Reflexiva, simétrica y transitiva. 12. Sí es equivalente. 13. No es equivalente. 14. $[1,2]\times\{3,4\}=\{(1,3),(1,4),(2,3),(2,4)\}$ .

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Solución — Página 219

Matematica 9° · Egb 9 Matematica 2025 · 2025

Ejercicio 1

Resolución

Ejercicio 7

Determinación de relaciones

Dados $P=\{1,2,3,11\}$ y $Q=\{6,9,10,16\}$ :

$R_1$ es una relación de $Q$ en $P$ donde el elemento de $Q$ es menor que el de $P$ .
$R_2$ es una relación de $P$ en $Q$ donde el elemento de $P$ es la mitad del elemento de $Q$ .
$R_3$ cumple $q=p^2$ .
$R_4$ es una relación de $Q$ en $P$ que cumple $qp<20$ .

Ejercicio 8

Relaciones representadas en los diagramas

a) Los elementos relacionados son $8$ con $2$ y $27$ con $3$ .

b) Cada elemento de $H$ se relaciona con un número de $J$ del cual es múltiplo: $15$ con $5$ , y $49$ , $21$ , $28$ y $63$ con $7$ .

c) La relación representada es “ser divisor de”: $2$ y $4$ son divisores de los elementos correspondientes de $L$ .

Ejercicio 9

Relación $y=x^2-1$

Se calcula el valor de $y$ para cada $x\in S$ . Los valores que pertenecen a $T$ son los que forman pares de la relación.

$-2\mapsto(-2)^2-1=3$ ; $-1\mapsto(-1)^2-1=0$ ; $0\mapsto-1\notin T$ ; $1\mapsto0$ ; $2\mapsto3$ .

Ejercicio 10

Relación $y=2x-3$

Se evalúan los elementos de $P$ . Para $x=0$ se obtiene $y=-3$ , pero $-3\notin Q$ , por lo que no se incluye ese par.

Ejercicio 11

Propiedades

Una relación es reflexiva si contiene todos los pares $(a,a)$ ; es simétrica si con $(a,b)$ también contiene $(b,a)$ ; y es transitiva si de $(a,b)$ y $(b,c)$ se sigue $(a,c)$ .

$R_1$ no es reflexiva porque falta $(3,3)$ ; sí es simétrica y transitiva.
$R_2$ es reflexiva y transitiva, pero no es simétrica porque contiene $(1,2)$ y no $(2,1)$ .
$R_3$ es reflexiva, simétrica y transitiva.

Ejercicio 12

Relación de equivalencia

La relación agrupa a $a$ y $b$ en una misma clase, mientras $c$ forma su propia clase. Como cumple reflexividad, simetría y transitividad, es una relación de equivalencia.

Ejercicio 13

Relación “ser divisor de”

La divisibilidad es reflexiva y transitiva en los números naturales positivos, pero no es simétrica: por ejemplo, $2$ divide a $4$ , pero $4$ no divide a $2$ . Por tanto, no es una relación de equivalencia.

Ejercicio 14

Producto cartesiano entre intervalos

Para determinar el producto cartesiano se toman todos los pares $(x,y)$ en los que $x$ pertenece al primer intervalo y $y$ pertenece al segundo. Por ejemplo, si $A=[1,2]$ y $B=\{3,4\}$ , entonces $A\times B=\{(1,3),(1,4),(2,3),(2,4)\}$ .

Contenido de la página

Relaciones y propiedades

Una relación entre dos conjuntos se expresa mediante pares ordenados $(x,y)$ . El dominio está formado por los primeros elementos de los pares y el recorrido por los segundos elementos.

Una relación es reflexiva cuando contiene $(a,a)$ para todo elemento del conjunto; simétrica cuando $(a,b)$ implica $(b,a)$ ; y transitiva cuando $(a,b)$ y $(b,c)$ implican $(a,c)$ .

Ejemplos resueltos

Determinar los pares de $P\times Q$ que cumplen $q=p^2$ , con $P=\{1,2,3,11\}$ y $Q=\{6,9,10,16\}$ .

Se prueban los cuadrados de los elementos de $P$ : $1^2=1$ , $2^2=4$ , $3^2=9$ y $11^2=121$ . Solo $9$ pertenece a $Q$ , por tanto $R=\{(3,9)\}$ .

Fórmulas y ecuaciones

$\operatorname{dom}$ $(R)=\{x\mid$ $\exists$ y,\ $(x,y)\in$ R}

$\operatorname{rec}$ $(R)=\{y\mid$ $\exists$ x,\ $(x,y)\in$ R}

$A\times$ $B=\{(a,b)\mid$ $a\in$ $A\land$ $b\in$ B}

$q=p^2$

$y=x^2-1$

y=2x-3

Glosario (6)

Relación: Correspondencia entre elementos de uno o dos conjuntos, expresada mediante pares ordenados.
Dominio: Conjunto formado por los primeros elementos de los pares ordenados de una relación.
Recorrido: Conjunto formado por los segundos elementos de los pares ordenados de una relación.
Reflexividad: Propiedad que exige que cada elemento se relacione consigo mismo.
Simetría: Propiedad que exige que, si $(a,b)$ pertenece a la relación, también pertenezca $(b,a)$.
Transitividad: Propiedad que exige que de $(a,b)$ y $(b,c)$ se obtenga $(a,c)$.

Preguntas para practicar

¿Por qué el par $(0,-3)$ no pertenece a la relación del ejercicio 10?

¿Qué propiedades debe cumplir una relación para ser de equivalencia?

¿Cómo cambia el producto cartesiano cuando uno de los intervalos es abierto?

Temas y conceptos clave

Relaciones definidas por condicionesDiagramas sagitalesDominio y recorridoReflexividad, simetría y transitividadRelaciones de equivalenciaProducto cartesiano de intervalosRelaciónPar ordenadoConjunto de partidaConjunto de llegadaDominioRecorridoRelación reflexivaRelación simétricaRelación transitivaRelación de equivalencia

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Preguntas que la gente también hace

¿Cómo se determina el dominio y el recorrido de una relación?

Consulta la solución completa arriba o explora el libro entero para temas relacionados.

¿Qué diferencia existe entre una relación simétrica y una transitiva?

Consulta la solución completa arriba o explora el libro entero para temas relacionados.

¿Cómo se verifica si una relación es de equivalencia?

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📌 Antes de leer esto

• Conjuntos y pertenencia
• Pares ordenados
• Operaciones con números enteros
• Evaluación de expresiones algebraicas

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Funciones y representación gráfica de relaciones

📝 Transcripción de la página (texto seleccionable) 1721 caracteres

Determina los conjuntos relación R, a partir de los siguientes conjuntos:
Dados P=(0, 1,2,3, 4 y Q={+1, 0, 1,2, 3,4,...}yla relación R= {(x. y) EP x Q/ y= 2x -3}

P={1, 2, 3, 11) y Q={6, 9, 10, 16} R, determina de Q a P que cumple la condición “ser menor que”.

a) R, define de Pa Q que cumple la condición “ser la mitad".

b) R={(p, a)/a=p’} c) R,={a, p/qp<20}

Escribe en palabras una relación que represente a cada imagen.

a) A B

Dados S = {-2, -1, 0, 1, 2) y T= 23, 0, 3) y la rela- ción R={%, yYESxT/yY=X*=1) a) Realiza el diagrama sagital de la relación. b) Escribe los pares ordenados de la relación: c) El conjunto de partida es: d) El conjunto de llegada es:

e) El dominio es: dom =

f) Elrango o recorrido es: rec =

a) Escribe los elementos de R.

b) Halla el dominio de la relación. dom =

c) Halla el recorrido de la relación. rec=