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Dominio y rango de una función

📄 ejemplo Matemática 🎓 secundaria · 9° EGB Ecuador 🇪🇨 EC 🗣 Español

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Respuesta rápida

Ejemplo 1: a) Función. b) No es función. c) No es función. d) Función.

Ejemplo 2: $\operatorname{Dom} f=\{0,1,2,3\}$ y $\operatorname{Ran} f=\{1,2,3,4\}$ .

Restricciones: $x\neq\frac{3}{2}$ en $y=\frac{1}{2x-3}$ y $x\geq-\frac{1}{3}$ en $y=\sqrt{3x+1}$ .

Matemática ⭐⭐ Dificultad 2/5 ⏱ 5 min lectura

Solución — Página 221

Matematica 9° · Egb 9 Matematica 2025 · 2025

Ejercicio 1

Ejemplo 1: Identificación de funciones

Una relación es función cuando a cada elemento del dominio le corresponde exactamente un elemento del conjunto de llegada.

Ejercicio a

** La relación de $B$ en $C$ sí es una función, porque cada elemento de $B$ tiene una sola imagen en $C$.

Ejercicio b

** La relación de $M$ en $T$ no es una función, porque los elementos $b$ y $c$ tienen varias imágenes en $T$.

Ejercicio c

** La relación $f:\mathbb{R}^{+}\rightarrow\mathbb{R}$, definida por $f(x)=\pm\sqrt{x}$, no es una función. Para un número real positivo, la expresión $\pm\sqrt{x}$ produce dos valores: uno positivo y otro negativo.

Ejercicio d

** La relación $f:\mathbb{R}\rightarrow\mathbb{R}$, definida por $f(x)=x^{2}$, sí es una función. Cada número real tiene una única imagen real.

Dominio y rango

El dominio de una función $f:X\rightarrow Y$ es el conjunto formado por las primeras componentes de sus pares ordenados:

$\operatorname{Dom} f=\{x\mid (x,y)\in f\}$

El rango o recorrido es el conjunto formado por las segundas componentes:

$\operatorname{Ran} f=\{y\mid (x,y)\in f\}$

El rango está contenido en el codominio o conjunto de llegada.

Ejemplo 2: Dominio y rango de una función

Se considera la función $f:\{x\in\mathbb{N}\mid x<4\}\rightarrow\mathbb{N}$ , definida por $f(x)=x+1$ .

Como los números naturales menores que $4$ son $0$ , $1$ , $2$ y $3$ , calculamos:

$f(0)=1,\quad f(1)=2,\quad f(2)=3,\quad f(3)=4$

La función queda expresada mediante los pares ordenados:

$f=\{(0,1),(1,2),(2,3),(3,4)\}$

Por tanto, el dominio está formado por las primeras componentes y el rango por las segundas componentes:

$\operatorname{Dom} f=\{0,1,2,3\}$

$\operatorname{Ran} f=\{1,2,3,4\}$

Restricciones para determinar dominios

Una división por cero no está definida. Por ejemplo, en $y=\frac{1}{2x-3}$ :

$2x-3\neq 0$

$x\neq\frac{3}{2}$

Por ello, se excluye $x=\frac{3}{2}$ del dominio.

En una raíz de índice par, la cantidad subradical debe ser mayor o igual que cero. Por ejemplo, en $y=\sqrt{3x+1}$ :

$3x+1\geq 0$

$x\geq -\frac{1}{3}$

Así, el dominio debe cumplir $x\geq -\frac{1}{3}$ . Estas restricciones también se aplican al determinar el rango.

Contenido de la página

Funciones

Una relación es función si a cada elemento del dominio le corresponde uno y solo un elemento del conjunto de llegada.

Dominio

El dominio está formado por las primeras componentes de los pares ordenados de la función:

$\operatorname{Dom} f=\{x\mid (x,y)\in f\}$

Rango

El rango o recorrido está formado por las segundas componentes de los pares ordenados:

$\operatorname{Ran} f=\{y\mid (x,y)\in f\}$

Restricciones

En una función definida por una fórmula, se excluyen los valores que producen división por cero. Además, el radicando de una raíz de índice par debe ser no negativo.

Ejemplos resueltos

Identificar las relaciones que son funciones: $f:\mathbb{R}^{+}\rightarrow\mathbb{R}$ , $f(x)=\pm\sqrt{x}$ , y $f:\mathbb{R}\rightarrow\mathbb{R}$ , $f(x)=x^{2}$ .

La relación $f(x)=\pm\sqrt{x}$ no es función porque un mismo valor positivo de $x$ tiene dos imágenes. La relación $f(x)=x^{2}$ sí es función porque cada número real tiene una única imagen.

Determinar el dominio y el rango de $f(x)=x+1$ , con $x\in\mathbb{N}$ y $x<4$ .

Los valores permitidos son $x=0,1,2,3$ . Los pares ordenados son $\{(0,1),(1,2),(2,3),(3,4)\}$ . Por tanto, $\operatorname{Dom} f=\{0,1,2,3\}$ y $\operatorname{Ran} f=\{1,2,3,4\}$ .

Fórmulas y ecuaciones

$\operatorname{Dom} f=\{x\mid (x,y)\in f\}$

$\operatorname{Ran} f=\{y\mid (x,y)\in f\}$

$2x-3\neq 0$

$3x+1\geq 0$

$f(x)=x^{2}$

$f(x)=\pm\sqrt{x}$

$\operatorname{Dom} f=\{x\mid (x,y)\in f\}$

$\operatorname{Ran} f=\{y\mid (x,y)\in f\}$

$y=\frac{1}{2x-3}$

$y=\sqrt{3x+1}$

Glosario (5)

Función: Relación en la que a cada elemento del dominio le corresponde exactamente un elemento del conjunto de llegada.
Dominio: Conjunto de valores de entrada o primeras componentes de los pares ordenados.
Rango: Conjunto de valores de salida o segundas componentes de los pares ordenados.
Codominio: Conjunto de llegada de una función, que contiene al rango.
Restricción: Condición que determina qué valores pueden pertenecer al dominio de una función.

Temas y conceptos clave

Identificación de funcionesDominio de una funciónRango o recorrido de una funciónRestricciones en fórmulasUna función asigna una única imagen a cada elemento del dominioEl dominio contiene las primeras componentes de los pares ordenadosEl rango contiene las segundas componentesNo se permite dividir para ceroEl radicando de una raíz par debe ser mayor o igual que cero

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📌 Antes de leer esto

• Conjuntos y números reales
• Pares ordenados
• Operaciones con expresiones algebraicas
• Propiedades de raíces cuadradas

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Representación gráfica de funciones y determinación del dominio y rango en gráficas

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ES Recuerda que...

Para determinar el Ejemplo 1 dominio de una función definida por una fórmula, observamos las a) B—————__+C MM ————=T siguientes restricciones:

Identificar las relaciones que son funciones.

La división por cero no está definida. Es decir, si x está en el denominador, excluiremos los valores que convierten en cero a ese denominador.

©) f:R*>R/f(x)=4 l

Rite a

d) Ff:R=R/f()=xY? 2x-3#0 Solución oe

a) Esfunción porque a cada elemento de B le corresponde un elemento de C. 2 2. Las cantidades

b) No es función porque al elemento b del conjunto M le corresponden tres subradicales de elementos de T al igual que al elemento c. radicales con índice

c) N funció | ext la rat drada d 4 | . par deben ser o es función, pues al extraer la raíz cuadrada de un número real posi- PSN

tivo tenemos dos respuestas: una positiva y otra negativa. Es decir, a un a cero, ya que no elemento de IR* le corresponden dos imágenes en R. podemos extraer la raíz de Índice par

d) Sí es función; a cada número real IR le corresponde únicamente un ‘ de una cantidad

numero real R.

negativa. Dominio y rango de una función En y=v3x41; 3x+120

El dominio de una función f: X > Y es el conjunto formado por las primeras dal

componentes de los pares ordenados que pertenecen a f. Se simboliza

Dom f =4x/(x, y)€ A. Para que una relación sea función, a cada elemento Estas restricciones

del dominio le corresponde uno y solo un elemento del recorrido o rango. también se consideran

; a A al determinar el

El rango o recorrido de una función f: X > Y es el conjunto formado por racer

las segundas componentes de los pares ordenados que pertenecen a f. Se

simboliza Ran f ={y/(x, ye Fh. El rango esta contenido en el conjunto de

llegada o codominio.

A Interculturalidad

Ejemplo 2 El sistema de numeración Determinar el dominio y el rango de la función F:N<4=>N/f(x)=x+1. secoya, en su proceso . oral, utiliza los dedos de Solución las manos y de los pies. Para contar los números Estructuramos la función f = {(o. 1); 0 2); (2, 3): (3, ah del 1 al 5, comienzan

por el dedo meñique

Formamos el dominio con las primeras componentes Dom f ={0, 1, 2, 3}. onl de la mano izquierda

El rango se estructura con las segundas componentes: Ran f ={l 2, 3, 4). con la palma arriba,

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