Dominio y rango de funciones

Ideas principales

El dominio es el conjunto de valores de x para los cuales la función está definida. En una fracción, el denominador debe ser diferente de cero; en una raíz cuadrada, el radicando debe ser mayor o igual que cero.

El rango o recorrido es el conjunto de valores que puede tomar y=f(x). Para determinarlo, se escribe y=f(x) y se despeja x; los valores de y que producen una restricción se excluyen.

1. f(x)=x^3+2x^2-x+3 es un polinomio, por lo que no tiene restricciones. Entonces, \operatorname{Dom}f=\mathbb{R}.
2. g(x)=-\frac{3}{x-7}. El denominador debe ser distinto de cero: x-7\neq 0, de donde x\neq 7. Por tanto, \operatorname{Dom}g=\mathbb{R}\setminus\{7\}.
3. h(x)=\frac{2x^2}{3x+11}. Se exige 3x+11\neq 0, así que x\neq -\frac{11}{3}. Por tanto, \operatorname{Dom}h=\mathbb{R}\setminus\left\{-\frac{11}{3}\right\}.
4. f(x)=\sqrt{2x-0,5}. Se exige 2x-0,5\geq 0, entonces 2x\geq 0,5 y x\geq \frac{1}{4}. Por tanto, \operatorname{Dom}f=\left[\frac{1}{4},\infty\right[.
5. h(x)=\sqrt{5x+9}. Se exige 5x+9\geq 0, por lo que 5x\geq -9 y x\geq -\frac{9}{5}. Entonces, \operatorname{Dom}h=\left[-\frac{9}{5},\infty\right[.
6. g(x)=\frac{x+2}{x-3}. El denominador no puede ser cero: x-3\neq 0, de donde x\neq 3. Así, \operatorname{Dom}g=\mathbb{R}\setminus\{3\}.
7. h(x)=\frac{1}{x^2}. Se exige x^2\neq 0, por lo tanto x\neq 0. Entonces, \operatorname{Dom}h=\mathbb{R}\setminus\{0\}.
8. f(x)=\frac{x}{x^2-1}. Se exige x^2-1\neq 0. Al resolver (x-1)(x+1)\neq 0, se obtiene x\neq 1 y x\neq -1. Por tanto, \operatorname{Dom}f=\mathbb{R}\setminus\{-1,1\}.
9. f(x)=\frac{x}{x^2+4}. Como x^2+4>0 para todo número real, no existen restricciones. Por tanto, \operatorname{Dom}f=\mathbb{R}.

1. f(x)=\frac{4}{6x+1}-2. Sea y=\frac{4}{6x+1}-2. Entonces y+2=\frac{4}{6x+1} y x=\frac{4-(y+2)}{6(y+2)}=\frac{2-y}{6(y+2)}. Esta expresión exige y+2\neq 0, es decir, y\neq -2. Por tanto, \operatorname{Ran}f=\mathbb{R}\setminus\{-2\}.
2. h(x)=2(3x-4)=6x-8 es una función lineal con pendiente diferente de cero. Puede producir cualquier número real, por lo que \operatorname{Ran}h=\mathbb{R}.
3. g(x)=\frac{x}{x-5}. Sea y=\frac{x}{x-5}. Entonces y(x-5)=x, por lo que x(y-1)=5y y x=\frac{5y}{y-1}. Se exige y\neq 1. Así, \operatorname{Ran}g=\mathbb{R}\setminus\{1\}.
4. f(x)=\frac{x+2}{x-2}. Sea y=\frac{x+2}{x-2}. Entonces y(x-2)=x+2, de donde x(y-1)=2y y x=\frac{2y}{y-1}. Se exige y\neq 1. Por tanto, \operatorname{Ran}f=\mathbb{R}\setminus\{1\}.
5. f(x)=x^2+1. Como x^2\geq 0, se cumple x^2+1\geq 1. El valor mínimo es 1, cuando x=0. Entonces, \operatorname{Ran}f=[1,\infty[.

Una posible respuesta es formular estas relaciones en \mathbb{Z}:

• Relación R_1: y=x+2. Es una función, porque a cada valor de x le corresponde un único valor de y. En \mathbb{Z}, su dominio y su rango son \mathbb{Z}.
• Relación R_2: y^2=x. No es una función de x en \mathbb{Z}, porque, por ejemplo, al valor x=4 le corresponden y=2 y y=-2. Su dominio es el conjunto de cuadrados enteros y su rango es \mathbb{Z}.

Para f(x)=\frac{x}{x^2-1}, el denominador debe ser diferente de cero. Entonces:

x^2-1\neq 0

x^2\neq 1

x\neq -1 \quad \text{y} \quad x\neq 1

Por tanto, el dominio es:

\operatorname{Dom}f=\mathbb{R}\setminus\{-1,1\}

También puede escribirse como ]-\infty,-1[\cup]-1,1[\cup]1,\infty[.