Para un movimiento rectilíneo con aceleración constante de 5 km/s^2, dibuja la gráfica de aceleración frente al tiempo y determina si corresponde a una función.

a(t)=5, t[0,); sí es una función

Libro de Matemática 9 EGB

Ministerio de Educación del Ecuador

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Funciones crecientes, decrecientes y constantes

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Respuesta rápida

La gráfica de $f(x)=-x$ es la opción c.
La gráfica de $a(t)=5$ es una recta horizontal; sí representa una función.
$d(t)=2,5t^2$ .
$\operatorname{Dom}(f)=[0,\infty)$ y $\operatorname{Ran}(f)=[0,\infty)$ .

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Solución — Página 224

Matematica 9° · Egb 9 Matematica 2025 · 2025

Ejercicio 1

Resolución del contenido

El automóvil parte del reposo y tiene una aceleración constante de $5\,\text{km/s}^2$ . La distancia recorrida se modela mediante:

$d=\frac{1}{2}at^2$

Al reemplazar $a=5$ :

$d=\frac{1}{2}(5)t^2=2,5t^2$

Por tanto, la función es $d(t)=2,5t^2$ .

Representación gráfica

La gráfica es una parábola que abre hacia arriba y pasa por el origen. Algunos puntos son:

$t=1$ : $d=2,5$ .
$t=2$ : $d=10$ .
$t=3$ : $d=22,5$ .
$t=4$ : $d=40$ .
$t=5$ : $d=62,5$ .
$t=8$ : $d=160$ .
$t=10$ : $d=250$ .

Como el tiempo no puede ser negativo, el dominio es:

$\operatorname{Dom}(f)=[0,\infty)$

La distancia tampoco puede ser negativa, así que el rango es:

$\operatorname{Ran}(f)=[0,\infty)$

La relación sí es una función porque a cada valor del tiempo le corresponde una única distancia. Esto también se comprueba con la prueba de la línea vertical: cada recta vertical corta la parábola en un solo punto.

Ejercicios de la página

Ejercicio 1

Función $f(x)=-x$

La gráfica de $f(x)=-x$ es una recta decreciente que pasa por el origen y tiene pendiente $-1$ . La opción correcta es la c.

Ejercicio 2

Gráfica de la aceleración respecto del tiempo

Si la aceleración es constante e igual a $5\,\text{km/s}^2$ , entonces:

$a(t)=5$

Su gráfica es una recta horizontal paralela al eje del tiempo, para $t\geq 0$ . Sí corresponde a una función, porque a cada instante le corresponde un único valor de aceleración.

La función distancia $d(t)=2,5t^2$ es creciente en $[0,\infty)$ , pues al aumentar el tiempo también aumenta la distancia.

Contenido de la página

Movimiento con aceleración constante

Para un automóvil que parte del reposo y posee aceleración constante, la distancia se calcula mediante:

$d=\frac{1}{2}at^2$

Con $a=5\,\text{km/s}^2$ se obtiene:

$d(t)=2,5t^2$

Esta función se representa mediante una parábola que abre hacia arriba. Como $t\geq 0$ y $d\geq 0$ , tanto el dominio como el rango son $[0,\infty)$ .

Prueba de la línea vertical

Una relación es función si cualquier recta vertical intersecta su gráfica en un solo punto.

Monotonía

La función $d(t)=2,5t^2$ es creciente para $t\geq 0$ . La función $f(x)=-x$ es decreciente y una función de la forma $f(x)=c$ es constante.

Ejemplos resueltos

Un automóvil parte del reposo con aceleración constante de $5\,\text{km/s}^2$ . Determina la función distancia, su dominio y su rango.

Se reemplaza la aceleración en $d=\frac{1}{2}at^2$ : $d(t)=\frac{1}{2}(5)t^2=2,5t^2$ . Como el tiempo y la distancia no son negativos, $\operatorname{Dom}(f)=[0,\infty)$ y $\operatorname{Ran}(f)=[0,\infty)$ . La relación es una función porque cada tiempo produce una única distancia.

Tabla

$t$ (s)	$d$ (m)
1	2,5
2	10
3	22,5
4	40
5	62,5
8	160
10	250

Fórmulas y ecuaciones

$d=\frac{1}{2}at^2$

$d(t)=2,5t^2$

$a(t)=5$

d= $\frac{1}{2}$ $at^2$

$d(t)=2,5t^2$

f(x)=-x

a(t)=5

Glosario (6)

Función creciente: Función cuyos valores aumentan cuando aumenta la variable independiente.
Función decreciente: Función cuyos valores disminuyen cuando aumenta la variable independiente.
Función constante: Función que conserva el mismo valor para todos los elementos de su dominio.
Dominio: Conjunto de valores permitidos para la variable independiente.
Rango: Conjunto de valores que puede tomar la variable dependiente.
Prueba de la línea vertical: Procedimiento gráfico que permite verificar si una relación es función.

Preguntas para practicar

¿Por qué la función $d(t)=2,5t^2$ es creciente para $t\geq 0$?

¿Qué diferencia existe entre una función constante y una función decreciente?

¿Cómo se aplica la prueba de la línea vertical?

Temas y conceptos clave

Funciones crecientes, decrecientes y constantesFunción cuadráticaDominio y rangoPrueba de la línea verticalAceleración constanteUna función asigna un único valor de salida a cada valor de entrada.Una función creciente aumenta cuando aumenta la variable independiente.Una función decreciente disminuye cuando aumenta la variable independiente.Una función constante mantiene el mismo valor.El dominio contiene los valores posibles de la variable independiente.El rango contiene los valores que toma la variable dependiente.

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Figuras de la página (1)

Automóvil que parte del reposo y acelera de manera constante. — Figura 2 image

Preguntas que la gente también hace

¿Cómo se identifica si una función es creciente o decreciente?

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¿Cómo se determina el dominio y el rango de una función cuadrática?

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¿Por qué una recta horizontal representa una función constante?

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📌 Antes de leer esto

• Ubicar pares ordenados en el plano cartesiano
• Reconocer rectas y parábolas
• Evaluar expresiones algebraicas
• Comprender el significado de dominio y rango

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Funciones potencia con exponentes $n=1$, $n=2$ y $n=3$

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Funciones crecientes, decrecientes y constantes

Tema 3

Analiza: ¿qué gráfica corresponde a la función f(x) = — x?

a) b) o PAE ar |

Un automóvil se dispone a transitar por una carretera recta. Parte del reposo e imprime una aceleración constante de 5 km/s.

, . _ 1 R La fórmula que modela este tipo de movimiento es d = 5 ¿Cuál

es la representación gráfica de esta relación? ¿Es una relación o una

función? ¿Cuál es su dominio y rango?

El automóvil acelera 5 km/s’.

El tiempo (t) puede ser cero o cualquier otro valor positivo dentro de los IR; por lo

: 5; 3 á ‘ e

Competencia tanto, la distancia también podrá ser cero o cualquier valor dentro de los [R*, Esto

comunicacional significa que la representación gráfica corresponderá a una línea continua. Cuando un móvil se Para definir la forma de la curva que corresponde a la función, elaboramos una mueve y describe tabla de valores y ubicamos los pares ordenados en un plano cartesiano. El tiempo, una trayectoria que es la variable independiente, se representa en el eje x y la distancia que es la rectilínea con una variable dependiente, en el eje y. aceleración constante, dima el movimiento se MO) d (m) E ate 250 denomina rectilineo | 1 2,5 uniformemente variado. 2 10 200 Dibuja la grafica de la 3 22,5 150 aceleración vs. tiempo 4 40 E para este movimiento | 5 62,5 y determina si | 8 160 50 corresponde a una l a 10 250 función. sy E Cuando una relación es una función, al trazar líneas verticales a lo largo de Recuerda que... todo la curva, cada recta únicamente interseca a la curva en un punto. Una variable :

dependiente representa una cantidad cuyo valor depende de cómo se

Al aplicar esta prueba de la línea vertical en la curva de nuestra situación, observamos que cada línea se interseca con la curva en un solo punto,

infinito positivo. Lo mismo sucede al analizar los valores de las ordenadas, por lo tanto:

Dom F:[0; oo [ y Ran F:[ 0; co [|

variable que se utiliza

para representar la

variable dependiente 100 en Una ecuación, y x es la variable independiente. a]

: , ¡E ea ; A

independiente. 2) Rae em el eje de las abscisas observamos que

Normalmente, y es la 200) |_| x toma valores desde cero hasta el |

i} ito 9] 10

M.4.1.51. Definiry reconocer funciones potencia con n= 1, 2, 3, representarlas de manera gráfica e identificar su monotonía. M.4.1.48, Reconocer funciones crecientes y decrecientes a partir de su representación gráfica o tabla de valores.

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