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Funciones crecientes, decrecientes y constantes

📄 ejemplo Matemática 🎓 secundaria · 9° EGB Ecuador 🇪🇨 EC 🗣 Español

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Respuesta rápida

La función $f(x)=x^2+4x-2$ es decreciente en $(-\infty,-2]$ y creciente en $[-2,\infty)$ . Su vértice es $(-2,-6)$ y, por cambiar de decreciente a creciente, no es monótona en todo su dominio.

Matemática ⭐⭐ Dificultad 2/5 ⏱ 5 min lectura

Solución — Página 225

Matematica 9° · Egb 9 Matematica 2025 · 2025

Ejercicio 1

Conceptos principales

Una función es creciente en un intervalo cuando, al aumentar $x$ , también aumenta $f(x)$ . Si $x_1<x_2$ , entonces $f(x_1)<f(x_2)$ .
Una función es decreciente en un intervalo cuando, al aumentar $x$ , disminuye $f(x)$ . Si $x_1<x_2$ , entonces $f(x_1)>f(x_2)$ .
Una función es constante en un intervalo cuando conserva el mismo valor de $f(x)$ . Si $x_1<x_2$ , entonces $f(x_1)=f(x_2)$ .
Si una función es creciente o decreciente en todo su dominio, se denomina estrictamente creciente o estrictamente decreciente.

Ejemplo 1

Se analiza la función:

$f(x)=x^2+4x-2$

Ejercicio 1

Construcción de la tabla de valores

Evaluamos la función en los valores indicados:

$f(-5)=(-5)^2+4(-5)-2=25-20-2=3$
$f(-4)=(-4)^2+4(-4)-2=16-16-2=-2$
$f(-2)=(-2)^2+4(-2)-2=4-8-2=-6$
$f(-1)=(-1)^2+4(-1)-2=1-4-2=-5$
$f(0)=0^2+4(0)-2=-2$
$f(1)=1^2+4(1)-2=1+4-2=3$

La tabla queda así:

$x$	$-5$	$-4$	$-2$	$-1$	$0$	$1$
$f(x)$	$3$	$-2$	$-6$	$-5$	$-2$	$3$

Los pares ordenados son $(-5,3)$ , $(-4,-2)$ , $(-2,-6)$ , $(-1,-5)$ , $(0,-2)$ y $(1,3)$ . Al ubicarlos y unirlos suavemente se obtiene una parábola que abre hacia arriba.

Ejercicio 2

Análisis de monotonía

La función alcanza su valor mínimo en el vértice, cuya coordenada $x$ es:

$x_v=-\frac{b}{2a}=-\frac{4}{2(1)}=-2$

Por ello:

En el intervalo $(-\infty,-2]$ , al aumentar $x$ , los valores de $f(x)$ disminuyen. La función es decreciente.
En el intervalo $[-2,\infty)$ , al aumentar $x$ , los valores de $f(x)$ aumentan. La función es creciente.

Como la función es decreciente en una parte de su dominio y creciente en otra, no es monótona en todo su dominio.

Contenido de la página

Funciones crecientes, decrecientes y constantes

Una función es creciente cuando al aumentar $x$ también aumenta $f(x)$ . Es decreciente cuando al aumentar $x$ disminuye $f(x)$ . Es constante cuando $f(x)$ conserva el mismo valor aunque aumente $x$ .

Para la función $f(x)=x^2+4x-2$ , la tabla de valores permite observar que los valores de la función disminuyen hasta $x=-2$ y luego aumentan. Por eso, es decreciente en $(-\infty,-2]$ y creciente en $[-2,\infty)$ .

Ejemplos resueltos

Analizar la monotonía de $f(x)=x^2+4x-2$ .

El vértice tiene abscisa $x_v=-\frac{4}{2}=-2$ . Como la parábola abre hacia arriba, la función es decreciente en $(-\infty,-2]$ y creciente en $[-2,\infty)$ . Por tanto, no es monótona en todo su dominio.

Tabla

| $x$ | $-5$ | $-4$ | $-2$ | $-1$ | $0$ | $1$ $|\n|---|---:|---:|---:|---:|---:|---:|\n|$ $f(x)$ | $3$ | $-2$ | $-6$ | $-5$ | $-2$ | $3$ |

Fórmulas y ecuaciones

$x_v=-\frac{b}{2a}$

$f(x)=x^2+4x-2$

$x_1<x_2\Rightarrow f(x_1)<f(x_2)$

$x_1<x_2\Rightarrow f(x_1)>f(x_2)$

$x_1<x_2\Rightarrow f(x_1)=f(x_2)$

$f(x)=x^2+4x-2$

$x_v=-\frac{b}{2a}=-2$

Glosario (5)

Función creciente: Función cuyos valores aumentan cuando aumenta la variable independiente.
Función decreciente: Función cuyos valores disminuyen cuando aumenta la variable independiente.
Función constante: Función que mantiene el mismo valor para todos los valores de un intervalo.
Monotonía: Comportamiento de una función al aumentar la variable independiente.
Vértice: Punto máximo o mínimo de una parábola.

Preguntas para practicar

Escribe, a partir de tus experiencias, un criterio para reconocer cuándo una función es creciente, decreciente o constante y preséntalo en clase.

Temas y conceptos clave

Funciones crecientesFunciones decrecientesFunciones constantesAnálisis de monotonía de una función cuadráticaFunción crecienteFunción decrecienteFunción constanteMonotoníaVérticeIntervalo

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Figuras de la página (2)

Gráficas de funciones estrictamente creciente y estrictamente decreciente. — Figura 2 image

Gráfica de la parábola $f(x)=x^2+4x-2$ con varios puntos de la tabla de valores. — Figura 3 image

Preguntas que la gente también hace

¿Cómo saber si una función es creciente o decreciente?

Consulta la solución completa arriba o explora el libro entero para temas relacionados.

¿Cómo se determina la monotonía de una parábola?

Consulta la solución completa arriba o explora el libro entero para temas relacionados.

¿Qué diferencia existe entre una función constante y una función creciente?

Consulta la solución completa arriba o explora el libro entero para temas relacionados.

📌 Antes de leer esto

• Evaluación de expresiones algebraicas
• Ubicación de pares ordenados en el plano cartesiano
• Características básicas de una función cuadrática

Siguiente tema sugerido

Vértice, eje de simetría y representación gráfica de funciones cuadráticas

📝 Transcripción de la página (texto seleccionable) 1394 caracteres

Funciones crecientes, decrecientes y constantes

Función creciente | Función decreciente

Recuerda que...

Una función que en todo su dominio se

mantiene creciente _ Una función es creciente en un intervalo | Una función es decreciente en un o decreciente _ sia medida que aumenta el valor de x, intervalo si a medida que aumenta el valor se denomina aumenta el valor de y. de x, disminuye el valor de y. estrictamente creciente o estrictamente Xx, <X, > f(x) <f(x,) x, <x, =>f(x)>f(x,) 1 SQ ) 2 15% Ú 7 decreciente.

Aumenta

| Una función es constante | en un intervalo si a medida | que aumenta el valor de x, | se mantiene el mismo valor en y.

xX, <x, > f(x) = (0)

Ejemplo 1

fix) =f) —Fundién constante_

Constante

Aumenta x

Graficar la función f(x) = x° +4x -2 y analizar su monotonía.

Construimos su tabla de valores

6 | 5 —2 3

Observamos en la función que en el intervalo |-:-2] mientras x aumenta, y disminuye; por lo tanto, es decreciente. En tanto que en el intervalo pf x aumenta y también lo hace y; en consecuencia, es creciente en ese intervalo.

Como la función es creciente y decreciente no es monótona.

Estrictamente creciente

Estrictamente decreciente

Competencia socioemocional

Si algún tema de clase no te quedó claro, pregunta a tu profesor; no te quedes con la duda.

Escribe tu criterio

a partir de tus experiencias y preséntalo en clase.

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