Grafica las funciones indicadas y completa el tipo de función, la pendiente m y la ordenada al origen b.

a) lineal, m=-7, b=0; b) afín, m=4, b=-5; c) afín, m=-1, b=8; d) lineal, m=1/4, b=0

Determina si los puntos P_1(-2,10), P_2(2,2), P_3(1,-4) y P_4(0,6) pertenecen a f(x)=-2x+6.

P_1 sí, P_2 sí, P_3 no, P_4 sí

Investiga cómo calcular la pendiente de una recta cuando se conocen dos puntos. Ejemplifica.

m=y_2-y_1/x_2-x_1; m=2 para (1,2) y (4,8)

Libro de Matemática 9 EGB

Ministerio de Educación del Ecuador

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Funciones lineales y afines

📄 ejercicios Matemática 🎓 secundaria · 9° EGB Ecuador 🇪🇨 EC 🗣 Español

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Respuesta rápida

3a) Lineal, $m=-7$ , $b=0$ . 3b) Afín, $m=4$ , $b=-5$ . 3c) Afín, $m=-1$ , $b=8$ . 3d) Lineal, $m=\frac{1}{4}$ , $b=0$ . 4a) $f(x)=-x+5$ . 4b) $f(x)=3x-2$ . 5) $B(x)=0,25x$ ; para 200 tamales: $\$ 50$. 6a) Hipoteca $g$ . 6b) Hipoteca $f$ . 7a) $f(x)=2x-3$ . 7b) $f(x)=-\frac{1}{3}x$ . 8) Pertenecen $P_1$ , $P_2$ y $P_4$ ; no pertenece $P_3$ . 9a) $f$ y $h$ . 9b) $f$ , $g$ y $h$ . 10) Ejemplo: $y=3x+1$ , $y=3x-4$ , $y=3x+7$ . 11) $m=\frac{y_2-y_1}{x_2-x_1}$ .

📚 exercise Matemática ⭐⭐⭐ Dificultad 3/5 ⏱ 8 min lectura

Solución — Página 231

Matematica 9° · Egb 9 Matematica 2025 · 2025

Ejercicio 1

Resolución

Ejercicio 3

Identificación de funciones

Una función afín tiene la forma $f(x)=mx+b$ , donde $m$ es la pendiente y $b$ la ordenada al origen. Si $b=0$ , se trata de una función lineal.

a) $f(x)=-7x$

Tipo: función lineal.
Pendiente: $m=-7$ .
Ordenada al origen: $b=0$ .

b) $f(x)=4x-5$

Tipo: función afín.
Pendiente: $m=4$ .
Ordenada al origen: $b=-5$ .

c) $f(x)=-x+8$

Tipo: función afín.
Pendiente: $m=-1$ .
Ordenada al origen: $b=8$ .

d) $f(x)=\frac{x}{4}=\frac{1}{4}x$

Tipo: función lineal.
Pendiente: $m=\frac{1}{4}$ .
Ordenada al origen: $b=0$ .

Ejercicio 4

Expresiones a partir de las gráficas

a) La recta corta al eje $y$ en $5$ y al eje $x$ en $5$ . Por cada aumento de $1$ en $x$ , $y$ disminuye $1$ unidad, por lo que $m=-1$ y $b=5$ .

$f(x)=-x+5$

b) La recta corta al eje $y$ en $-2$ y aumenta $3$ unidades en $y$ por cada unidad que aumenta $x$ . Por tanto, $m=3$ y $b=-2$ .

$f(x)=3x-2$

Ejercicio 5

Beneficio por la venta de tamales

Sea $x$ el número de tamales vendidos. El beneficio por cada tamal es:

$0,75-0,50=0,25$

Por tanto, la función beneficio es:

$B(x)=0,25x$

Para $200$ tamales:

$B(200)=0,25(200)=50$

El beneficio diario es de $\$ 50$.

Para graficar la función se pueden ubicar puntos como $(0,0)$ , $(100,25)$ , $(200,50)$ y $(300,75)$ , y luego unirlos mediante una recta.

Ejercicio 6

Comparación de hipotecas

En la gráfica, la recta $g$ está por encima de la recta $f$ cuando la duración es menor que $3$ años. Después del punto de intersección, la recta $f$ queda por encima de $g$ .

a) Para menos de $3$ años, el banquero selecciona la hipoteca $g$ .

b) Para una duración de $5$ años, escoge la hipoteca $f$ .

Ejercicio 7

Funciones determinadas por puntos

a) Para $P_1(-1,-5)$ y $P_2(2,1)$ :

$m=\frac{1-(-5)}{2-(-1)}=\frac{6}{3}=2$

Usando $y=mx+b$ y el punto $(-1,-5)$ :

$-5=2(-1)+b$

$-5=-2+b$

$b=-3$

La función es:

$f(x)=2x-3$

b) La recta pasa por el origen, así que $b=0$ . Usando el punto $(-3,1)$ :

$1=m(-3)$

$m=-\frac{1}{3}$

La función es:

$f(x)=-\frac{1}{3}x$

Ejercicio 8

Comprobación de puntos

Se evalúa cada valor de $x$ en $f(x)=-2x+6$ :

$P_1(-2,10)$ : $f(-2)=-2(-2)+6=10$ . Sí pertenece.
$P_2(2,2)$ : $f(2)=-2(2)+6=2$ . Sí pertenece.
$P_3(1,-4)$ : $f(1)=-2(1)+6=4$ . No pertenece, porque $4\ne -4$ .
$P_4(0,6)$ : $f(0)=-2(0)+6=6$ . Sí pertenece.

Ejercicio 9

Rectas paralelas

Dos rectas son paralelas cuando tienen la misma pendiente y diferentes ordenadas al origen.

a) Las pendientes son $-5$ , $5$ y $-5$ , respectivamente. Por tanto, $f(x)=-5x$ y $h(x)=-5x+4$ son paralelas.

b) Las tres funciones tienen pendiente $2$ :

$f(x)=2x-3,\qquad g(x)=2x,\qquad h(x)=2x-6$

Por tanto, las tres rectas son paralelas.

Ejercicio 10

Trabajo colaborativo

Un ejemplo de tres rectas paralelas es:

$f(x)=3x+1$ $g(x)=3x-4$ $h(x)=3x+7$

Las tres tienen pendiente $m=3$ y diferentes ordenadas al origen. Por ello son paralelas.

Ejercicio 11

Actividad indagatoria

Si se conocen dos puntos $P_1(x_1,y_1)$ y $P_2(x_2,y_2)$ , la pendiente se calcula mediante:

$m=\frac{y_2-y_1}{x_2-x_1}$

Ejemplo: para $P_1(1,2)$ y $P_2(4,8)$ :

$m=\frac{8-2}{4-1}=\frac{6}{3}=2$

La pendiente de la recta es $2$ .

Contenido de la página

Funciones lineales y afines

Una función afín se expresa como $f(x)=mx+b$ . El valor $m$ representa la pendiente y $b$ la ordenada al origen. Cuando $b=0$ , la función es lineal. Las rectas paralelas tienen la misma pendiente.

Ejemplos resueltos

Determinar la función que pasa por los puntos $(-1,-5)$ y $(2,1)$ .

La pendiente es $m=\frac{1-(-5)}{2-(-1)}=2$ . Luego, $-5=2(-1)+b$ , de donde $b=-3$ . Por tanto, $f(x)=2x-3$ .

Calcular el beneficio por vender 200 tamales si cada uno cuesta $\$ 0,50 $y se vende a$ $0,75$ .

El beneficio unitario es $0,75-0,50=0,25$ . Entonces, $B(200)=0,25(200)=50$ dólares.

Tabla

Función	Tipo	Pendiente $m$	Ordenada $b$
$-7x$	Lineal	$-7$	$0$
$4x-5$	Afín	$4$	$-5$
$-x+8$	Afín	$-1$	$8$
$\frac{x}{4}$	Lineal	$\frac{1}{4}$	$0$

Fórmulas y ecuaciones

$m=\frac{y_2-y_1}{x_2-x_1}$

$y=mx+b$

Dos rectas son paralelas si tienen la misma pendiente.

$f(x)=mx+b$

$m=\frac{y_2-y_1}{x_2-x_1}$

$B(x)=0,25x$

$f(x)=-2x+6$

Glosario (5)

Pendiente: Medida de la inclinación de una recta; se calcula como el cambio vertical dividido para el cambio horizontal.
Ordenada al origen: Valor de $y$ donde la recta corta al eje vertical; corresponde a $b$ en $y=mx+b$.
Función lineal: Función de la forma $f(x)=mx$, cuya gráfica es una recta que pasa por el origen.
Función afín: Función de la forma $f(x)=mx+b$, donde $b$ puede ser diferente de cero.
Rectas paralelas: Rectas que tienen la misma pendiente y no se intersectan.

Preguntas para practicar

¿Por qué una función con $b=0$ pasa por el origen?

¿Cómo cambia la gráfica cuando aumenta o disminuye la pendiente?

¿Por qué dos rectas con la misma pendiente son paralelas?

Temas y conceptos clave

Funciones lineales y afinesPendiente y ordenada al origenConstrucción de funciones a partir de gráficas y puntosRectas paralelasAplicaciones de funcionesPendienteOrdenada al origenFunción linealFunción afínBeneficioRectas paralelas

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Figuras de la página (2)

Gráfica de una recta decreciente que corta los ejes aproximadamente en $(0,5)$ y $(5,0)$. — Figura 2 image

Gráfica de una recta creciente que corta el eje vertical en $-2$ y tiene pendiente positiva. — Figura 3 image

Preguntas que la gente también hace

¿Cómo se calcula la pendiente de una recta?

Consulta la solución completa arriba o explora el libro entero para temas relacionados.

¿Cuál es la diferencia entre una función lineal y una función afín?

Consulta la solución completa arriba o explora el libro entero para temas relacionados.

¿Cómo saber si dos rectas son paralelas?

Consulta la solución completa arriba o explora el libro entero para temas relacionados.

📌 Antes de leer esto

• Ubicar puntos en el plano cartesiano
• Operar con números enteros y fracciones
• Reconocer la forma $y=mx+b$
• Calcular diferencias entre cantidades

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Sistemas de ecuaciones lineales y representación gráfica de rectas

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Grafica en tu cuaderno las siguientes funciones y completa lo requerido.

a) f(x)=-7x

Tipo de función: ms b= b) f(x)=4x-5

Tipo de función: i= b= ce) f(x)=-x+8

Tipo de funcion: m= b=

d) dde

Tipo de función: me f=

Deduce la expresión algebraica de las funciones a partir de su gráfica.
El costo de producción de un tamal es de $ 0,50 y se vende a $ 0,75. Construye la función que describe el beneficio que se obtiene por la venta de tamales.

a) ¿Cuánto ganarías vendiendo 200 tamales diarios?

b) Grafica la función beneficio construida.

El gráfico muestra los beneficios que obtiene un banco a través de dos tipos de hipotecas con intereses diferentes, en función de su duración en años (variable x ).

(3, 33; 2, 33)

a) ¿Qué hipoteca selecciona el banquero si un cliente la desea por menos de 3 años?

b) ¿Cuál escoge si solicita una hipoteca con 5 años de duración?