Elabora un diagrama de árbol con las edades: 38,42,37,41,52,48,39,35,50,43,55,36,44,51,34,33,40,49,32.

30--39: 8/19, 40--49: 7/19, 50--59: 4/19

Investiga con qué operaciones de conjuntos se relaciona la probabilidad de sucesos independientes y compatibles. Demuestra su uso con un ejemplo.

P(A B)=P(A)P(B), P(A B)=P(A)+P(B)-P(A B)

Libro de Matemática 9 EGB

Ministerio de Educación del Ecuador

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Probabilidad: sucesos independientes, dependientes y compatibles

📄 ejercicios Matemática 🎓 secundaria · 9° EGB Ecuador 🇪🇨 EC 🗣 Español

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$\frac{1}{4}$ ; 2. $\frac{1}{6}$ ; 3. $\frac{1}{8}$ ; 4. $\frac{1}{12}$ ; 5. c); 6a. $\frac{3}{8}$ ; 6b. $\frac{2}{9}$ ; 6c. $\frac{2}{3}$ ; 6d. $\frac{5}{6}$ ; 6e. $\frac{1}{2}$ ; 7a. $\frac{1}{100}$ ; 7b. $\frac{1}{2}$ ; 7c. $\frac{1}{101}$ ; 8a. $\frac{1}{12}$ ; 8b. $\frac{5}{9}$ .

📚 exercise Matemática ⭐⭐⭐ Dificultad 3/5 ⏱ 12 min lectura

Solución — Página 235

Matematica 9° · Egb 9 Matematica 2025 · 2025

Ejercicio 1

Resolución

Probabilidades con un naipe y un dado

Se considera un naipe común de 52 cartas y un dado de seis caras. Como se realizan dos experimentos independientes, se multiplican las probabilidades.

Número par y baraja roja: $P(\text{par})=\frac{3}{6}=\frac{1}{2}$ y $P(\text{roja})=\frac{26}{52}=\frac{1}{2}$ . Entonces, $P=\frac{1}{2}\cdot\frac{1}{2}=\frac{1}{4}$ .
Trébol y número menor que $5$ : $P(\text{trébol})=\frac{13}{52}=\frac{1}{4}$ y $P(\text{menor que }5)=\frac{4}{6}=\frac{2}{3}$ . Entonces, $P=\frac{1}{4}\cdot\frac{2}{3}=\frac{1}{6}$ .
Número impar y pica: $P(\text{impar})=\frac{3}{6}=\frac{1}{2}$ y $P(\text{pica})=\frac{13}{52}=\frac{1}{4}$ . Entonces, $P=\frac{1}{8}$ .
Carta negra y el único número primo par, el $2$ : $P(\text{negra})=\frac{26}{52}=\frac{1}{2}$ y $P(2)=\frac{1}{6}$ . Entonces, $P=\frac{1}{12}$ .

Ejercicio 5

Problema-decisión

Las cartas se extraen y no se devuelven al grupo. Por eso, en cada turno cambia el conjunto de resultados posibles. Los eventos son dependientes.

Ejercicio 6

Análisis y resolución

a) Hay $3$ pares blancos de un total de $8$ . Como los pares que no son blancos se devuelven al cajón, la probabilidad se mantiene en cada intento. Por tanto, $P(\text{blanco en el tercer intento})=\frac{3}{8}$ .

b) Hay $12$ cartas mayores que $6$ y $6$ cartas menores o iguales que $6$ . Como se repone la carta, los intentos son independientes: $P=\frac{12}{18}\cdot\frac{6}{18}=\frac{2}{3}\cdot\frac{1}{3}=\frac{2}{9}.$

c) En un dado, los múltiplos de $3$ son $\{3,6\}$ y los números pares son $\{2,4,6\}$ . La unión es $\{2,3,4,6\}$ : $P=\frac{4}{6}=\frac{2}{3}.$

d) Los números impares son $\{1,3,5\}$ y los pares mayores que $3$ son $\{4,6\}$ . La unión contiene cinco resultados: $P=\frac{5}{6}.$

e) Para obtener juntos $\$ 15 $, uno debe sacar$ $10$ y el otro $\$ 5$: $P=\frac{3}{10}\cdot\frac{4}{8}+\frac{7}{10}\cdot\frac{4}{8}=\frac{12}{80}+\frac{28}{80}=\frac{40}{80}=\frac{1}{2}.$

Ejercicio 7

Probabilidades como fracción

a) Solo una página es la página $20$ entre $100$ páginas: $P=\frac{1}{100}.$

b) En un libro de $80$ páginas hay $40$ páginas impares: $P=\frac{40}{80}=\frac{1}{2}.$

c) Si cada puntuación de $0$ a $100$ es igualmente posible, obtener exactamente $50$ puntos corresponde a un resultado entre $101$ puntuaciones posibles: $P=\frac{1}{101}.$

Ejercicio 8

Lanzamiento de dos dados

a) Hay $36$ resultados ordenados posibles. Para que la suma sea $10$ , los casos son $(4,6)$ , $(5,5)$ y $(6,4)$ : $P=\frac{3}{36}=\frac{1}{12}.$

b) De los $36$ resultados, $16$ tienen producto menor o igual que $8$ . Por tanto, $20$ tienen producto mayor que $8$ : $P=\frac{20}{36}=\frac{5}{9}.$

Ejercicio 9

Diagrama de árbol

Se pueden agrupar las edades por décadas:

Edades de 30 a 39 años: $8$ personas.
Edades de 40 a 49 años: $7$ personas.
Edades de 50 a 59 años: $4$ personas.

Las probabilidades de cada rama principal son $\frac{8}{19}$ , $\frac{7}{19}$ y $\frac{4}{19}$ , respectivamente.

Ejercicio 10

Operaciones de conjuntos

Los sucesos se representan como conjuntos. La intersección $A\cap B$ significa que ocurren ambos sucesos y la unión $A\cup B$ significa que ocurre al menos uno de ellos.

Para sucesos independientes: $P(A\cap B)=P(A)\cdot P(B).$

Para sucesos compatibles: $P(A\cup B)=P(A)+P(B)-P(A\cap B).$

Por ejemplo, al lanzar un dado, sea $A=\{2,4,6\}$ y $B=\{4,5,6\}$ . Entonces $A\cap B=\{4,6\}$ y $A\cup B=\{2,4,5,6\}$ . Así, $P(A\cup B)=\frac{4}{6}$ .

Contenido de la página

Ideas principales

Dos sucesos son independientes cuando la ocurrencia de uno no cambia la probabilidad del otro.
Dos sucesos son dependientes cuando el primer resultado modifica los resultados posibles del siguiente.
Para sucesos independientes se usa $P(A\cap B)=P(A)P(B)$ .
Para sucesos compatibles se usa $P(A\cup B)=P(A)+P(B)-P(A\cap B)$ .
Un diagrama de árbol organiza las etapas y resultados de un experimento aleatorio.

Ejemplos resueltos

Se lanza un dado y se extrae una carta de un naipe. ¿Cuál es la probabilidad de obtener un número par y una carta roja?

Los sucesos son independientes. $P(\text{par})=\frac{1}{2}$ y $P(\text{roja})=\frac{1}{2}$ . Por tanto, $P=\frac{1}{2}\cdot\frac{1}{2}=\frac{1}{4}$ .

Diagrama

graph TD
A[Grupo de 19 edades] --> B[30 a 39: 8]
A --> C[40 a 49: 7]
A --> D[50 a 59: 4]
B --> B1[32, 33, 34, 35, 36, 37, 38, 39]
C --> C1[40, 41, 42, 43, 44, 48, 49]
D --> D1[50, 51, 52, 55]

Fórmulas y ecuaciones

$P(A\cap B)=P(A)P(B)$ para sucesos independientes

$P(A\cup B)=P(A)+P(B)-P(A\cap B)$ para sucesos compatibles

$P(A\cap$ $B)=P(A)\cdot$ P(B)

$P(A\cup$ $B)=P(A)+P(B)-P(A\cap$ B)

P(E)= $\frac{\text{casos favorables}}{\text{casos posibles}}$

Glosario (5)

Suceso independiente: Suceso cuya probabilidad no cambia por la ocurrencia de otro suceso.
Suceso dependiente: Suceso cuya probabilidad cambia porque anteriormente ocurrió otro resultado.
Sucesos compatibles: Sucesos que pueden ocurrir simultáneamente; su intersección no es vacía.
Unión: Conjunto de resultados que pertenecen a uno de los sucesos o a ambos.
Intersección: Conjunto de resultados comunes a dos sucesos.

Preguntas para practicar

¿Cómo cambiaría la probabilidad de Rosana si no devolviera los calcetines al cajón?

¿Cómo se representa mediante un diagrama de árbol el experimento de Felipe?

¿Por qué en sucesos compatibles se resta la probabilidad de la intersección?

Temas y conceptos clave

Probabilidad de sucesos independientesProbabilidad de sucesos dependientesSucesos compatiblesLanzamiento de dadosExtracción de cartasDiagramas de árbolEspacio muestralSuceso independienteSuceso dependienteUnión de sucesosIntersección de sucesosRegla del productoRegla de la suma

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Preguntas que la gente también hace

¿Cómo se calcula la probabilidad de sucesos independientes?

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¿Cuál es la diferencia entre sucesos independientes y dependientes?

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¿Cómo se calcula la probabilidad de la unión de dos sucesos?

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📌 Antes de leer esto

• Identificar resultados favorables y resultados posibles
• Simplificar fracciones
• Reconocer números pares, impares y múltiplos
• Aplicar la regla del producto y de la suma

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Probabilidad condicional y tablas de contingencia

📝 Transcripción de la página (texto seleccionable) 3281 caracteres

b) Sacar cierta carta del naipe y lanzar un dado.

Trébol | Diamantes | Picas

¿Cuál es la probabilidad de obtener un número par y una baraja roja?

¿Cuál es la probabilidad de sacar un trébol y un número menor a 5?

¿Cuál es la probabilidad de obtener un número impar y una pica?

¿Cuál es la probabilidad de sacar una carta negra y el único número primo par?

Problema-decision. Analiza la siguiente situación. Luego, decide y encierra la respuesta correcta.

Mauricio juega cartas en solitario. Toma las 10 primeras cartas de un naipe, y las coloca boca abajo después de barajar en desorden. Él debe escoger una carta al azar y voltearla. Si la carta que obtiene es mayor a 5, debe colocarla sobre su costado derecho, donde estarán las cartas ganadoras, y si es menor que 5, la colocará a su izquierda, donde estará el grupo de cartas perdedoras. Gana el juego si logra formar un grupo de 3 cartas ganadoras antes de formar un grupo de 3 cartas perdedoras.

a) Los sucesos son independientes, porque en cada ronda Mauricio obtiene, bien sea una carta ganadora, o bien perdedora.

fb) Los sucesos son independientes, porque el juego no elimina a ninguno de los posibles resultados.

c) Los eventos son dependientes, porque un resultado es eliminado en cada turno y no es reemplazado.

Analiza el cálculo de la probabilidad y resuelve.

a) Rosana tiene 8 pares de calcetines: 1 negro, 2 rosados, 3 blancos, 1 verde, 1 azul. Ella desea ponerse calcetines blancos al tiempo que se propone tomar aquellos que saque en el tercer intento. Si los calcetines en el primero y segundo intento no son blancos, los devolverá al cajón. ¿Cuál es la probabilidad de que en el tercer intento obtenga calcetines blancos?

Corazones

b) Felipe tiene un paquete de 18 cartas enumeradas del 1 al 18. Toma una carta al azar, observa el número y las revuelve de nuevo en el paquete. ¿Cuál es la probabilidad de que no le salga una carta menor o igual a 6 en el primer intento y que le salga una carta menor o igual a 6 en el segundo intento?

©) Obtenemos un múltiplo de 3 o un número par al lanzar un dado,

d) Obtenemos un número impar o un número par mayor que 3 al lanzar un dado.

e) Rafael tiene en su billetera 3 billetes de $ 10 y 7 billetes $ 5, y Oscar tiene en su billetera 4 billetes de $10 y 4 billetes de$ 5. Si cada uno saca al mismo tiempo y al azar un billete, ¿cuál es la probabilidad de que obtengan juntos $ 15?

Escribe la probabilidad mediante una fracción.

a) La probabilidad de abrir en la página 20 un libro que tiene 100 páginas.

b) La probabilidad de abrir en una página impar un libro de 80 páginas.

e) La probabilidad de sacar 50 puntos en una prueba de 100 preguntas.

Calcula las siguientes probabilidades cuando se

lanzan al aire dos dados.

a) La suma de las puntuaciones sea 10.

b) El producto de sus puntuaciones sea mayor que 8.

Trabajo colaborativo

Trabajen en parejas y resuelvan.

Con el siguiente grupo de datos, elaboren un diagrama de árbol,

Edades de un grupo de padres: 38, 42, 37, 41, 52, 48, 39, 35, 50, 43, 55, 36, 44, 51, 34, 33, 40, 49, 32.

Actividad indagatoria

Investiga con qué operaciones de conjuntos se relaciona la probabilidad de conjuntos independientes y compatibles. Demuestra su uso en clase con un ejemplo.

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