Resolución de problemas de conteo

• e) \frac{11!}{10!(45-44)!}=\frac{11!}{10!\cdot1!}=11.
• f) \frac{8!}{4!\cdot2!}=\frac{40320}{24\cdot2}=840.
• g) \frac{6!\cdot3!}{9!\cdot2!}=\frac{720\cdot6}{362880\cdot2}=\frac{1}{168}.
• h) \frac{5!(4!-3!)}{4!}=\frac{120(24-6)}{24}=90.

• a) \frac{6!}{2!}=\frac{720}{2}=360.
• b) \frac{9!}{5!}=9\cdot8\cdot7\cdot6=3024.
• c) \frac{10!}{(12-3)!}=\frac{10!}{9!}=10.
• d) \frac{(15-9)!}{(6-2)!}=\frac{6!}{4!}=30.
• e) \binom{8}{4}=\frac{8!}{4!4!}=70.
• f) C_{5}^{10}=\binom{10}{5}=\frac{10!}{5!5!}=252.

• a) Para ordenar 8 personas en fila se usa una permutación: 8!=40320.
• b) Si una persona ocupa obligatoriamente el último puesto, se ordenan las otras 9: 9!=362880.
• c) Para formar números de cuatro cifras diferentes con 7 dígitos: 7\cdot6\cdot5\cdot4=840.
• d) El arquero queda fijo en el arco y los otros 10 jugadores se ordenan en las posiciones restantes: 10!=3628800.
• e) Para las 5 letras: 26\cdot25\cdot24\cdot23\cdot22=7893600. Para los 2 dígitos: 10\cdot9=90. Por tanto, 7893600\cdot90=710424000 claves.
• f) Se considera a la rectora y al secretario como un bloque. Hay 7 elementos para ordenar y el bloque puede intercambiarse de 2 formas: 7!\cdot2=10080.
• g) Como el orden de las tiendas no importa: \binom{5}{3}=10.
• h1) Se eligen 2 hombres de 5 y 3 mujeres de 7: \binom{5}{2}\binom{7}{3}=10\cdot35=350.
• h2) Si una mujer ya está seleccionada, faltan 2 hombres y 2 mujeres: \binom{5}{2}\binom{6}{2}=10\cdot15=150.
• h3) Si dos hombres específicos no pueden participar, se eligen 2 de los 3 hombres restantes y 3 de las 7 mujeres: \binom{3}{2}\binom{7}{3}=3\cdot35=105.
• i) Las 6 personas se ordenan en los 6 asientos: 6!=720.
• j) Con los dígitos 4, 8 y 9 se forman todos los números de tres cifras: 3!=6.
• k) Para formar números de tres cifras diferentes con 6 dígitos: 6\cdot5\cdot4=120.
• l) Los tres primeros lugares son ordenados, por lo que: 10\cdot9\cdot8=720.

La comisión se forma seleccionando 4 estudiantes de un grupo de 30. Como el orden no importa, se aplica una combinación:

\binom{30}{4}=\frac{30!}{4!26!}=27405.

La cantidad de integrantes de una comisión debe ser par si se desea facilitar una distribución equilibrada de responsabilidades. Por ello, elegiría una cantidad par, como 4 estudiantes.

La actividad solicita investigar situaciones de tres tipos: variaciones, cuando importa el orden y no se usan necesariamente todos los elementos; permutaciones, cuando se ordenan todos los elementos; y combinaciones, cuando se seleccionan elementos sin considerar el orden.

Una permutación con repetición ocurre cuando se ordenan varios elementos y algunos son iguales. Si se tienen n elementos, con repeticiones de cantidades n_1,n_2,\ldots,n_k, se calcula mediante:

P=\frac{n!}{n_1!n_2!\cdots n_k!}.

Por ejemplo, la palabra CASA tiene 4 letras, pero la letra A se repite 2 veces. La cantidad de ordenamientos diferentes es:

P=\frac{4!}{2!}=12.