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Variaciones, combinaciones y permutaciones

📄 ejemplo Matemática 🎓 secundaria · 9° EGB Ecuador 🇪🇨 EC 🗣 Español

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Respuesta rápida

• Con $3$ , $6$ y $9$ se forman $6$ números: $369$ , $396$ , $639$ , $693$ , $936$ y $963$ .

• El cuadro de premiados puede formarse de $1320$ maneras.

• Con $0$ , $1$ , $3$ , $5$ , $7$ y $9$ se pueden formar $100$ números de tres cifras diferentes.

Matemática ⭐⭐ Dificultad 2/5 ⏱ 5 min lectura

Solución — Página 236

Matematica 9° · Egb 9 Matematica 2025 · 2025

Variaciones ordinarias

Una variación ordinaria consiste en seleccionar $n$ elementos de un conjunto de $m$ elementos, sin repetirlos y considerando el orden.

La fórmula es:

$V_m^n=\frac{m!}{(m-n)!}$

El factorial de un número natural es el producto de ese número por todos los números naturales menores hasta llegar a $1$ :

$n!=n(n-1)(n-2)\cdots 2\cdot 1$

Además, $0!=1$ .

Saberes previos

Con las cifras $3$ , $6$ y $9$ , formando números de tres cifras sin repetir, se obtienen:

$369,\ 396,\ 639,\ 693,\ 936,\ 963$

También se puede calcular mediante una variación:

$V_3^3=\frac{3!}{(3-3)!}=\frac{3!}{0!}=6$

Cuadro de premiados

Hay $12$ participantes y se deben asignar tres lugares distintos: primero, segundo y tercero. Como importa el orden y no hay repetición, se aplica una variación:

$V_{12}^3=\frac{12!}{(12-3)!}=\frac{12!}{9!}$

Simplificamos:

$V_{12}^3=\frac{12\times11\times10\times9!}{9!}=12\times11\times10=1320$

Por lo tanto, el cuadro de premiados puede formarse de $1320$ maneras.

Ejemplo 1

Se desea formar números de tres cifras diferentes con los dígitos $0$ , $1$ , $3$ , $5$ , $7$ y $9$ .

La primera cifra no puede ser $0$ , por lo que para la primera posición hay $5$ opciones: $1$ , $3$ , $5$ , $7$ y $9$ .

Para las dos posiciones restantes quedan $5$ dígitos disponibles, y se deben ordenar dos de ellos:

$V_5^2=\frac{5!}{(5-2)!}=\frac{5!}{3!}=5\times4=20$

La cantidad total es:

$V_5^1\times V_5^2=5\times20=100$

Se pueden formar $100$ números de tres cifras diferentes.

Contenido de la página

Definición

Las variaciones ordinarias de $m$ elementos tomados de $n$ en $n$ , con $m\ge n$ , son grupos formados por $n$ elementos en los que no entran necesariamente todos los elementos, importa el orden y no hay repetición.

Fórmula

$V_m^n=\frac{m!}{(m-n)!}$

Factorial

$n!=n(n-1)(n-2)\cdots2\cdot1$

Por ejemplo:

$6!=6\times5\times4\times3\times2\times1=720$

Y por definición:

$0!=1$

Aplicación

Para asignar primero, segundo y tercer lugar entre $12$ participantes:

$V_{12}^3=\frac{12!}{9!}=12\times11\times10=1320$

Al formar números de tres cifras con $0$ , $1$ , $3$ , $5$ , $7$ y $9$ , el cero no puede ocupar la primera posición. Por eso se cuentan por separado la primera posición y las dos posiciones restantes:

$V_5^1\times V_5^2=5\times20=100$

Ejemplos resueltos

En un concurso participan $12$ personas y se entregan tres premios ordenados: primero, segundo y tercero. ¿De cuántas maneras puede formarse el cuadro de premiados?

Como importa el orden y no hay repetición, se calcula una variación: $V_{12}^3=\frac{12!}{(12-3)!}=\frac{12!}{9!}=12\times11\times10=1320.$ Hay $1320$ formas.

¿Cuántos números de tres cifras diferentes se pueden formar con los dígitos $0$ , $1$ , $3$ , $5$ , $7$ y $9$ ?

La primera cifra tiene $5$ opciones porque no puede ser cero. Para las dos cifras siguientes se ordenan $2$ de los $5$ dígitos restantes: $V_5^1\times V_5^2=5\times\frac{5!}{3!}=5\times20=100.$ Se pueden formar $100$ números.

Fórmulas y ecuaciones

$V_m^n=\frac{m!}{(m-n)!}$

$n!=n(n-1)(n-2)\cdots1$

$0!=1$

$V_m^n=$ $\frac{m!}{(m-n)!}$

$n!=n(n-1)(n-2)\cdots2\cdot1$

0!=1

$V_{12}^3=$ $\frac{12!}{9!}$ =1320

$V_5^1\times$ $V_5^2=100$

Glosario (4)

Variación ordinaria: Selección ordenada de algunos elementos de un conjunto, sin repetirlos.
Factorial: Producto de un número natural por todos los números naturales menores hasta llegar a uno.
Orden: Posición o disposición específica de los elementos; en las variaciones, cambiar el orden produce un resultado diferente.
Repetición: Uso de un mismo elemento más de una vez; en las variaciones ordinarias no está permitida.

Temas y conceptos clave

Variaciones ordinariasFactorialConteo sin repeticiónFormación de númerosEn una variación importa el orden.No se repiten los elementos.No necesariamente se utilizan todos los elementos.La fórmula es $V_m^n=\frac{m!}{(m-n)!}$.El factorial cumple que $0!=1$.

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Preguntas que la gente también hace

¿Qué son las variaciones ordinarias?

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¿Cómo se calcula una variación sin repetición?

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¿Cuál es la diferencia entre variaciones y combinaciones?

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📌 Antes de leer esto

• Multiplicación y división de números naturales
• Ordenamiento de elementos
• Interpretación de problemas de conteo
• Cálculo de factoriales

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Permutaciones y combinaciones

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Tema 6

ES Recuerda que...

El factorial de un número es el producto de los “n" factores consecutivos desde “n” hasta 1. El factorial de un número se denota porn! nl=n(n—1)(n=2)(n- 3) wor)

Por ejemplo: 6!=6x5x4x3x2x1 =720

ol=1

Variaciones, combinaciones y permutaciones

(E) Saberes previos

¿Cuáles son los números que puedes formar con los números 3, 6 y 9 sin repetir cifras?

En el concurso de declamación de una institución educativa se han presentado 12 participantes, de los cuales tres serán premiados, uno será el ganador, otro ocupará el segundo lugar y se acreditará el tercer lugar. ¿De cuántas maneras se puede formar ese cuadro de premiados?

Observamos que existe un conjunto de participantes, conformado por 12 elementos; de ellos solo tres serán seleccionados para ser premiados con cierto orden, de acuerdo con su desenvolvimiento. Las características de esta situación corresponden a una variación ordinaria; por lo tanto, definamos este parámetro matemático.

Se denominan variaciones ordinarias de m elementos tomados de n en n (m > n) a los distintos grupos formados por n elementos, en donde se cumple que: no entran todos los elementos, importa el orden y no hay repetición de elementos. Para calcularlas usamos la fórmula:

” (m-n)!

Apliquemos la fórmula a nuestra situación

3 121 12x11x10x9! = 1211 10 = 1 320

Vo") ol * El cuadro de premiados puede formarse de 1 320 distintas formas. Ejemplo 1 ¿Cuántos números de tres cifras diferentes se pueden formar con los dígitos: 0, 1, 3,5,7y 9 Solución

De los seis elementos con los que se dispone, debemos tomar tres. Importa el orden y las cifras deben ser distintas, por lo tanto, se trata de una variación. Sin em- bargo, como ningún número empieza con cero, tenemos que separar el número en dos bloques: el primer bloque lo pueden ocupar solo 1, 3, 5, 7 y 9. Ahí tenemos una variación donde m=5yn=1.

El segundo bloque, de dos números, lo puede ocupar cualquier dígito, menos el inicial, resultando una variación, en la quem=5yn=2.

La variación total se calcula como el producto de las dos variaciones:

a SE OSL 5x4l Sx 4x3! ya. A, =5x20=100 UV VAN lS *

Existen otras formas de disponer los elementos de un conjunto.

M.4.3.10. Aplicar métodos de conteo (combinaciones y permutaciones) en el cálculo de probabilidades. M.4.3.11. Calcular el factorial de un número natural y el coeficiente binomial en el cálculo de probabilidades.

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