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Permutaciones y combinaciones

📄 ejemplo Matemática 🎓 secundaria · 9° EGB Ecuador 🇪🇨 EC 🗣 Español

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Respuesta rápida

Ejemplo 2: $120$ números.
Ejemplo 3: $240$ ordenaciones.
Ejemplo 4: $190$ saludos.

Matemática ⭐⭐⭐ Dificultad 3/5 ⏱ 5 min lectura

Solución — Página 237

Matematica 9° · Egb 9 Matematica 2025 · 2025

Permutaciones

Una permutación utiliza todos los elementos, considera que el orden importa y no permite repetirlos. Se calcula mediante:

$P_n=n!$

Ejemplo 2

Para formar números de cinco cifras con $1$ , $2$ , $3$ , $4$ y $5$ , se deben ordenar las cinco cifras sin repetirlas. Por tanto:

$P_5=5!=5\times4\times3\times2\times1=120$

Se pueden formar 120 números.

Ejemplo 3

La palabra brinco tiene dos vocales: $i$ y $o$ . La primera posición puede ocuparse de $2$ formas. Después, las cinco letras restantes se pueden ordenar de $5!$ formas:

$P=P_2\times P_5=2!\times5!=2\times120=240$

Se pueden formar 240 ordenaciones que comiencen por vocal.

Combinaciones

Una combinación selecciona algunos elementos de un conjunto, no considera el orden y no permite repetir elementos. Se calcula mediante:

$C_m^n=\frac{m!}{n!(m-n)!}$

Ejemplo 4

Los saludos se realizan entre parejas de personas. Como el orden no importa, se eligen $2$ personas de un grupo de $20$ :

$C_{20}^{2}=\frac{20!}{2!(20-2)!}$

Simplificando:

$C_{20}^{2}=\frac{20\times19\times18!}{2\times1\times18!}=\frac{20\times19}{2}=190$

Se realizaron 190 saludos.

El factorial de un número puede calcularse con la tecla $n!$ de una calculadora. Las combinaciones también se utilizan en contraseñas formadas por letras, números y símbolos.

Contenido de la página

Permutaciones

Son variaciones en las que se toman en cuenta todos los elementos, importa el orden y no se repiten. Su fórmula es $P_n=n!$ .

Combinaciones

Son agrupaciones en las que no entran necesariamente todos los elementos, no importa el orden y no se repiten. Su fórmula es $C_m^n=\frac{m!}{n!(m-n)!}$ , con $m\geq n$ .

Aplicaciones

Las permutaciones permiten ordenar cifras o letras. Las combinaciones permiten contar parejas, grupos o selecciones en las que el orden no produce una agrupación diferente. También se aplican en la creación de contraseñas.

Ejemplos resueltos

¿Cuántos números de cinco cifras diferentes se pueden formar con $1$ , $2$ , $3$ , $4$ y $5$ ?

Se ordenan las cinco cifras sin repetirlas, por lo que es una permutación: $P_5=5!=5\times4\times3\times2\times1=120$ . Respuesta: 120 números.

Con las letras de la palabra brinco, ¿cuántas ordenaciones distintas pueden hacerse que empiecen por vocal?

Las vocales son $i$ y $o$ , así que existen $2$ opciones para la primera posición. Las cinco letras restantes se ordenan de $5!$ formas: $P_2\times P_5=2!\times5!=2\times120=240$ . Respuesta: 240 ordenaciones.

A una reunión asisten $20$ personas que intercambian saludos entre ellas. ¿Cuántos saludos se realizaron?

Cada saludo corresponde a una pareja. Como el orden no importa, se calcula una combinación: $C_{20}^{2}=\frac{20!}{2!(20-2)!}=\frac{20\times19}{2}=190$ . Respuesta: 190 saludos.

Fórmulas y ecuaciones

$P_n=n!$

$C_m^n=\frac{m!}{n!(m-n)!}$

$P_n=n$ !

$C_m^n=$ $\frac{m!}{n!(m-n)!}$

$P_5=5!=120$

$P_2\times$ $P_5=2!\times5!=240$

$C_{20}^{2}=$ $\frac{20!}{2!(20-2)!}$ =190

Glosario (4)

Permutación: Ordenación de todos los elementos de un conjunto, en la que importa el orden y no se repiten los elementos.
Combinación: Selección de elementos de un conjunto en la que no importa el orden y no se repiten los elementos.
Factorial: Producto de un número natural por todos los números naturales menores que él hasta llegar a 1.
Ordenación: Forma particular de colocar o disponer varios elementos.

Temas y conceptos clave

PermutacionesCombinacionesFactorialesAplicaciones del conteoEn una permutación importa el ordenUna permutación utiliza todos los elementosEn una combinación no importa el ordenEl factorial de un número es el producto de todos los naturales desde ese número hasta 1Las combinaciones no repiten elementos

Fuentes y referencias

lynk.ec/9m25

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Recurso visual de competencia digital que invita a ampliar el conocimiento sobre permutaciones mediante un enlace. — Figura 2 image

Preguntas que la gente también hace

¿Cuál es la diferencia entre una permutación y una combinación?

Consulta la solución completa arriba o explora el libro entero para temas relacionados.

¿Cómo se calcula el factorial de un número?

Consulta la solución completa arriba o explora el libro entero para temas relacionados.

¿Cuándo se debe utilizar la fórmula de combinaciones?

Consulta la solución completa arriba o explora el libro entero para temas relacionados.

📌 Antes de leer esto

• Multiplicación de números naturales
• Simplificación de fracciones
• Reconocimiento de cuándo el orden importa
• Cálculo de factoriales

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Ejercicios de permutaciones, combinaciones y probabilidad

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Permutaciones

Son variaciones en las que todos los elementos son tomados en cuenta, importa el orden y no se repiten los elementos. Se las calcula con la fórmula: P, =n!

Ejemplo 2 ¿Cuántos números de cinco cifras diferentes se pueden formar con 1, 2, 3, 4 y 5? Solución

Todos los elementos serán considerados para formar los números solicitados. El orden cuenta y, al decirnos cifras diferentes, se nos indica que no se deben repetir las cifras. Por lo tanto, se trata de una permutación.

PR =51=5x4x3x2x1=120

Ejemplo 3

Con las letras de la palabra brinco, ¿cuántas ordenaciones distintas se pueden hacer que empiecen por vocal?

Solución

La palabra que debe formarse empezará por ¡u o seguida de las 5 letras restantes tomadas de 5 en 5. En este caso, calculamos una permutación para las vocales y otra para las 5 letras restantes, El resultado final será el producto de las 2 permutaciones.

P=P*P.=21x5!=(2x1):(5x4x3x2x1)=240

Combinaciones: se llaman combinaciones de m elementos tomados de n en n (m > n) a todas las agrupaciones posibles que pueden hacerse con los m elementos, de forma que: no entran todos los elementos, no importa el orden y no se repiten los elementos. Las combinaciones se calculan con la fórmula:

; Chea

ni(m—n)!

Ejemplo 4

A una reunión asisten 20 personas que intercambian saludos entre ellas. ¿Cuántos saludos se realizaron? Solución

Están presentes 20 personas, pero los saludos se hacen de dos en dos, no importa quién saluda primero y una misma persona no se puede saludar a sí misma. Entonces, se trata de una combinación. Al aplicar la fórmula, obtenemos:

20! 20x19x18! CA 2X

A =10x19=190 20-2)! 2x1x18!

Se realizaron 190 saludos.

Sabias qu

Puedes calcular el factorial de un numero en la calculadora.

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Amplia tu conocimiento en sobre permutaciones, para esto puedes utilizar el siguiente enlace:

lynk.ec/9m25 ;

Interdisciplinariedad

Matematica

y Tecnologia Las combinaciones se utilizan en las contraseñas que se utilizan en correos electrónicos, cuentas bancarias y otros sitios. Estas deben tener una combinación de letras, números y símbolos que hacen difícil que alguien pueda descifrarlas.

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