Selecciona la semejanza correcta: a) entre variación y combinación; b) entre variación y permutación.

a) No entran todos los elementos; b) Importa el orden

Identifica como variación, permutación o combinación y resuelve: a) Sentar 6 personas en los últimos 6 asientos de un bus. b) Formar una comisión de 4 estudiantes entre 30. c) Formar números distintos de 3 cifras con 4, 8 y 9. d) Formar un comité con cargos diferentes y dos vocales. e) Determinar los tres primeros lugares entre 20 autos. f) Escoger 3 pelotas diferentes entre 5. g) Formar números de 3 cifras distintas con las nueve cifras significativas.

a) 720; b) 27405; c) 6; d) variación; e) 6840; f) 10; g) 504

Encuentra el resultado: a) 9!; b) 11!; c) 20!/15!; d) 9!/(23-19)!.

362880, 39916800, 1860480, 15120

Libro de Matemática 9 EGB

Ministerio de Educación del Ecuador

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Evaluación formativa

📄 ejercicios Matemática 🎓 secundaria · 9° EGB Ecuador 🇪🇨 EC 🗣 Español

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Respuesta rápida

F, V, V, F.
a) No entran todos los elementos. b) Importa el orden.
a) Permutación: $720$ . b) Combinación: $27405$ . c) Permutación: $6$ . d) Variación; falta el número de personas del barrio. e) Variación: $6840$ . f) Combinación: $10$ . g) Variación: $504$ .
a) $6$ ; b) $120$ ; c) $5040$ ; d) $40320$ ; e) $24$ ; f) $720$ .
a) $360$ ; b) $380$ ; c) $11880$ ; d) $30$ ; e) $12$ ; f) $0$ .
a) $362880$ ; b) $39916800$ ; c) $1860480$ ; d) $15120$ .

📚 exercise Matemática ⭐⭐⭐⭐ Dificultad 4/5 ⏱ 12 min lectura

Solución — Página 238

Matematica 9° · Egb 9 Matematica 2025 · 2025

Ejercicio 1

Verdadero o falso

En una variación se toman en cuenta todos los elementos: F. En una variación se selecciona una parte de los elementos y el orden importa.
En una combinación no importa el orden: V.
En una permutación se consideran todos los elementos: V.
En una combinación entran todos los elementos: F. En una combinación se seleccionan algunos elementos y el orden no importa.

Ejercicio 2

Semejanzas

a) La semejanza entre variación y combinación es: no entran todos los elementos. La diferencia es que en la variación importa el orden, mientras que en la combinación no.

b) La semejanza entre variación y permutación es: importa el orden. En la permutación se utilizan todos los elementos; en la variación, solo una parte.

Ejercicio 3

Situaciones de conteo

a) Seis personas ocupan seis asientos y el orden de ubicación importa. Es una permutación: $P_6=6!=720$

b) Se forma una comisión y el orden de elección no importa. Es una combinación: $C_{30,4}=\frac{30!}{4!(30-4)!}=\frac{30!}{4!26!}=27405$

c) Se forman números de tres cifras con los dígitos 4, 8 y 9, usando todos una sola vez. Es una permutación: $3!=6$

d) Los cargos son diferentes, por lo que el orden o la función asignada importa, pero no todas las personas del barrio forman parte del comité. Es una variación. No se puede obtener un número exacto porque el enunciado no indica cuántas personas hay en el barrio.

e) Importa el orden en que llegan los tres primeros autos. Es una variación: $V_{20,3}=20\cdot19\cdot18=6840$

f) Se eligen tres pelotas de cinco y el orden no importa. Es una combinación: $C_{5,3}=\frac{5!}{3!2!}=10$

g) Se forman números de tres cifras distintas con las nueve cifras significativas, del 1 al 9. Importa el orden: $V_{9,3}=9\cdot8\cdot7=504$

Ejercicio 4

Factoriales

Se utiliza la definición $n!=n(n-1)(n-2)\cdots2\cdot1$ .

$3!=3\cdot2\cdot1=6$
$5!=5\cdot4\cdot3\cdot2\cdot1=120$
$7!=5040$
$8!=40320$
$(20-16)!=4!=24$
$(10-4)!=6!=720$

Ejercicio 5

Operaciones con factoriales

a) $\frac{6!}{2!}=\frac{720}{2}=360$

b) $\frac{20!}{18!}=20\cdot19=380$

c) $\frac{12!}{(20-12)!}=\frac{12!}{8!}=12\cdot11\cdot10\cdot9=11880$

d) $\frac{10!}{4!(9-2)!}=\frac{10!}{4!7!}=\frac{10\cdot9\cdot8}{4!}=30$

e) $3!\cdot2!=6\cdot2=12$

f) $4!(2!-2!)=4!(0)=0$

Ejercicio 6

Resultados de las operaciones factoriales

$9!=362880$
$11!=39916800$
$\frac{20!}{15!}=20\cdot19\cdot18\cdot17\cdot16=1860480$
$\frac{9!}{(23-19)!}=\frac{9!}{4!}=15120$

Contenido de la página

Técnicas de conteo

Variación: selección de algunos elementos en la que importa el orden.
Permutación: ordenamiento de todos los elementos disponibles.
Combinación: selección de algunos elementos en la que no importa el orden.

Factorial

Para un número natural $n$ : $n!=n(n-1)(n-2)\cdots2\cdot1$

Además, $0!=1$ .

Ejemplos resueltos

¿De cuántas formas pueden ordenarse tres elementos distintos?

Como se utilizan todos los elementos y el orden importa, es una permutación: $3!=3\cdot2\cdot1=6$ .

¿De cuántas formas se pueden escoger dos elementos de un grupo de cinco si el orden no importa?

Es una combinación: $C_{5,2}=\frac{5!}{2!3!}=10$ .

Fórmulas y ecuaciones

$P_n=n!$

$V_{n,r}=\frac{n!}{(n-r)!}$

$C_{n,r}=\frac{n!}{r!(n-r)!}$

$n!=n(n-1)(n-2)\cdots1$

$P_n=n!$

$V_{n,r}=\frac{n!}{(n-r)!}$

$C_{n,r}=\frac{n!}{r!(n-r)!}$

Glosario (4)

Variación: Selección ordenada de algunos elementos de un conjunto.
Permutación: Ordenamiento de todos los elementos de un conjunto.
Combinación: Selección de elementos en la que el orden no produce resultados diferentes.
Factorial: Producto de un número natural por todos los números naturales menores hasta llegar a 1.

Temas y conceptos clave

VariacionesPermutacionesCombinacionesFactorialesSimplificación de expresiones factorialesEn una variación importa el orden y no se utilizan necesariamente todos los elementos.En una permutación importa el orden y se utilizan todos los elementos.En una combinación no importa el orden.El factorial de un número natural es el producto de ese número por todos los naturales menores hasta 1.

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Preguntas que la gente también hace

¿Cuál es la diferencia entre variación, permutación y combinación?

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¿Cómo se resuelven operaciones con factoriales?

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¿Cuándo se utiliza una combinación en un problema de conteo?

Consulta la solución completa arriba o explora el libro entero para temas relacionados.

📌 Antes de leer esto

• Operaciones básicas con números naturales
• Multiplicación y división
• Reconocimiento de cuándo importa el orden
• Uso de expresiones algebraicas sencillas

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Aplicaciones de las técnicas de conteo y probabilidad simple

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Taller

1.M.4.8.2.

Escribe frente a cada enunciado una V si es verdadero o una F si es falso.

Enuna variación se toman en cuenta todos los elementos.
Enuna combinación no importa el orden.
En una permutación se consideran todos los :

elementos.

En una combinación entran todos los elemen- tos.

Lee cada enunciado y selecciona la semejanza correcta.

a) La semejanza entre variación y combinación:

No importa el orden +» Se consideran todos los elementos
No entran todos los elementos
Importa el orden b) La semejanza entre variación y permutación: +» Importa el orden
No importa el orden
Entran todos los elementos
No entran todos los elementos

Analiza cada situación. Luego, identifícala como varianza, permutación o combinación. Justifica tu respuesta.

a) ¿De cuántas formas pueden sentarse 6 personas en los últimos 6 asientos de un bus?

b) En un salón de clase de 30 estudiantes se va a formar una comisión de 4 estudiantes. ¿De

cuántas formas se puede formar esa comisión?

c) ¿Cuántos números distintos de 3 cifras diferentes se pueden formar con los dígitos 4, 8y 9

d) En un barrio se va a elegir el comité prome- joras, que estará conformado por presiden- te, vicepresidente, secretario, prosecretario

y dos vocales. ¿De cuántas formas puede |

constituirse dicho comité?

Evaluación formativa

e) ¿De cuántas maneras pueden llegar en los tres primeros lugares veinte autos en una carrera de grand prix?

f) En una tienda hay cinco pelotas de distintos colores. Si queremos comprar tres pelotas di- ferentes, ¿cuántas combinaciones podemos formar?

g) Cuantos números de tres cifras distintas se pueden formar con las nueve cifras significativas del sistema decimal?