Problemas propuestos

Resolución de los problemas

a) Comprender el problema: Se considera que el terreno cuadrangular es un cuadrado. Su área es 144\ \text{m}^2 y se necesita calcular la diagonal.

b) Plantear la estrategia: Primero se calcula el lado del cuadrado y luego se aplica el teorema de Pitágoras en uno de los triángulos rectángulos que forma la diagonal.

c) Aplicar la estrategia:

l=\sqrt{144}=12\ \text{m}

d=\sqrt{12^2+12^2}=\sqrt{288}=12\sqrt{2}\ \text{m}\approx 16,97\ \text{m}

d) Responder: La cuerda debe medir aproximadamente 16,97\ \text{m}.

a) Comprender el problema: Se necesita encontrar el perímetro del trapecio. Las bases miden 75\ \text{cm} y 120\ \text{cm}, y la altura mide 60\ \text{cm}.

b) Plantear la estrategia: Se calcula el lado inclinado usando un triángulo rectángulo cuyos catetos son 60\ \text{cm} y 120-75=45\ \text{cm}. Después se suman los cuatro lados.

c) Aplicar la estrategia:

x=\sqrt{45^2+60^2}=\sqrt{5625}=75\ \text{cm}

P=75+120+60+75=330\ \text{cm}=3,30\ \text{m}

d) Responder: Necesitan 3,30\ \text{m} de cinta.

a) Comprender el problema: Las semidiagonales del rombo miden 6\ \text{dm} y 8\ \text{dm}. Se busca cuántas mesas se requieren para obtener un perímetro total de 80\ \text{dm}.

b) Plantear la estrategia: Se calcula el lado del rombo mediante el teorema de Pitágoras y luego su perímetro.

c) Aplicar la estrategia:

l=\sqrt{6^2+8^2}=\sqrt{100}=10\ \text{dm}

P=4(10)=40\ \text{dm}

n=\frac{80}{40}=2

d) Responder: David necesita 2 mesas.

a) Comprender el problema: Se deben elaborar 12 hexágonos regulares de lado 28\ \text{cm}. Se requiere calcular el área total de papel.

b) Plantear la estrategia: Se usa el área de un hexágono regular, A=\frac{3\sqrt{3}}{2}l^2, y se multiplica por 12.

c) Aplicar la estrategia:

A_1=\frac{3\sqrt{3}}{2}(28)^2=1176\sqrt{3}\ \text{cm}^2

A_T=12(1176\sqrt{3})=14112\sqrt{3}\ \text{cm}^2

A_T\approx 24442,29\ \text{cm}^2

d) Responder: Se necesitan aproximadamente 24442,29\ \text{cm}^2 de papel, equivalentes a 2,44\ \text{m}^2.

a) Comprender el problema: La mesa tiene una base hexagonal regular cuyo lado mide 60\ \text{cm}.

b) Plantear la estrategia: Se aplica la fórmula del área del hexágono regular.

c) Aplicar la estrategia:

A=\frac{3\sqrt{3}}{2}(60)^2=5400\sqrt{3}\ \text{cm}^2

A\approx 9353,07\ \text{cm}^2

d) Responder: El área que ocupará la mesa es aproximadamente 9353,07\ \text{cm}^2, o 0,94\ \text{m}^2.

a) Comprender el problema: La caja es un cubo de lado 25\ \text{cm} y la regla mide 40\ \text{cm. Se debe calcular la diagonal espacial del cubo y compararla con la longitud de la regla.

b) Plantear la estrategia: Primero se calcula la diagonal de una cara: x=\sqrt{25^2+25^2}. Luego se calcula la diagonal espacial: y=\sqrt{x^2+25^2}.

c) Aplicar la estrategia:

x=\sqrt{25^2+25^2}=25\sqrt{2}\ \text{cm}

y=\sqrt{(25\sqrt{2})^2+25^2}=\sqrt{1875}=25\sqrt{3}\ \text{cm}

y\approx 43,30\ \text{cm}

Como 43,30\ \text{cm}>40\ \text{cm}, la diagonal de la caja es mayor que la longitud de la regla.

d) Responder: La diagonal de la caja mide aproximadamente 43,30\ \text{cm}; por lo tanto, la regla sí cabe en la caja colocada diagonalmente.