Racionalización de expresiones con raíces
Respuesta rápida
• Ejemplo 1: \frac{8\sqrt{37}}{37}
• Ejemplo 2: 3\sqrt{5}-3\sqrt{3}
• Ejemplo 3: \frac{8\sqrt[5]{6^2}}{6}
Solución — Página 61
Matematica 9° · Egb 9 Matematica 2025 · 2025
Racionalización
Racionalizar una expresión consiste en transformar una fracción para que su denominador no contenga raíces.
Caso 1: una sola raíz cuadrada en el denominador
Se multiplica el numerador y el denominador por la misma raíz:
\frac{8}{\sqrt{37}}\cdot\frac{\sqrt{37}}{\sqrt{37}}=\frac{8\sqrt{37}}{\sqrt{37^2}}=\frac{8\sqrt{37}}{37}
Por tanto, la expresión racionalizada es \frac{8\sqrt{37}}{37}.
Caso 2: binomio con raíces
Se multiplica por el conjugado del denominador. El conjugado de \sqrt{x}+\sqrt{y} es \sqrt{x}-\sqrt{y}.
\frac{6}{\sqrt{5}+\sqrt{3}}\cdot\frac{\sqrt{5}-\sqrt{3}}{\sqrt{5}-\sqrt{3}}=\frac{6(\sqrt{5}-\sqrt{3})}{(\sqrt{5})^2-(\sqrt{3})^2}
=\frac{6(\sqrt{5}-\sqrt{3})}{5-3}=\frac{6(\sqrt{5}-\sqrt{3})}{2}=3(\sqrt{5}-\sqrt{3})
=3\sqrt{5}-3\sqrt{3}
La expresión racionalizada es 3\sqrt{5}-3\sqrt{3}.
Caso 3: raíz de índice cualquiera
Para racionalizar \frac{8}{\sqrt[5]{6^3}}, se utiliza \sqrt[5]{6^2}, porque los exponentes suman 3+2=5:
\frac{8}{\sqrt[5]{6^3}}\cdot\frac{\sqrt[5]{6^2}}{\sqrt[5]{6^2}}=\frac{8\sqrt[5]{6^2}}{\sqrt[5]{6^5}}=\frac{8\sqrt[5]{6^2}}{6}
La expresión racionalizada es \frac{8\sqrt[5]{6^2}}{6}.
Contenido de la página
Racionalización
La racionalización elimina las raíces que aparecen en el denominador de una expresión numérica.
Casos
- Una sola raíz cuadrada: se multiplica por la misma raíz cuadrada.
- Dos términos con raíces: se multiplica por el conjugado del denominador.
- Una raíz de índice cualquiera: se multiplica por otra raíz del mismo índice que complete una potencia cuyo exponente sea igual al índice.
Conjugados
El conjugado de a\sqrt{x}-b es a\sqrt{x}+b, y su producto es:
a^2x-b^2
El conjugado de a\sqrt{x}-b\sqrt{y} es a\sqrt{x}+b\sqrt{y}, y su producto es:
a^2x-b^2y
Ejemplos resueltos
Racionalizar \frac{8}{\sqrt{37}}.
\frac{8}{\sqrt{37}}\cdot\frac{\sqrt{37}}{\sqrt{37}}=\frac{8\sqrt{37}}{\sqrt{37^2}}=\frac{8\sqrt{37}}{37}$
Racionalizar \frac{6}{\sqrt{5}+\sqrt{3}}.
Se usa el conjugado \sqrt{5}-\sqrt{3}:
\frac{6}{\sqrt{5}+\sqrt{3}}=\frac{6(\sqrt{5}-\sqrt{3})}{5-3}=3\sqrt{5}-3\sqrt{3}
Racionalizar \frac{8}{\sqrt[5]{6^3}}.
Se multiplica por \sqrt[5]{6^2}:
\frac{8}{\sqrt[5]{6^3}}\cdot\frac{\sqrt[5]{6^2}}{\sqrt[5]{6^2}}=\frac{8\sqrt[5]{6^2}}{6}
Fórmulas y ecuaciones
(a+b)(a-b)=a^2-b^2
(a\sqrt{x}-b)(a\sqrt{x}+b)=a^2x-b^2
(a\sqrt{x}-b\sqrt{y})(a\sqrt{x}+b\sqrt{y})=a^2x-b^2y
\frac{8}{\sqrt{37}}\cdot\frac{\sqrt{37}}{\sqrt{37}}=\frac{8\sqrt{37}}{37}
\left(\sqrt{x}+\sqrt{y}\right)\left(\sqrt{x}-\sqrt{y}\right)=x-y
\frac{6}{\sqrt{5}+\sqrt{3}}=3\sqrt{5}-3\sqrt{3}
\frac{8}{\sqrt[5]{6^3}}=\frac{8\sqrt[5]{6^2}}{6}
Glosario (4)
- Racionalización
- Proceso mediante el cual se eliminan las raíces del denominador de una fracción.
- Conjugado
- Expresión que se obtiene cambiando el signo que separa los términos de un binomio.
- Factor racionalizante
- Factor por el que se multiplica una fracción para convertir su denominador en un número racional.
- Diferencia de cuadrados
- Producto notable expresado como $(a+b)(a-b)=a^2-b^2$.
Temas y conceptos clave
Fuentes y referencias
- Enlace educativo indicado en la página: lynk.ec/9m06
- Enlace de ejercicios interactivos indicado en la página: lynk.ec/9m07
Preguntas que la gente también hace
¿Cómo se racionaliza un denominador con una sola raíz cuadrada?
¿Qué es el conjugado de una expresión con raíces?
¿Cómo se racionaliza una raíz de índice mayor que dos?
- • Propiedades de las raíces
- • Operaciones con potencias
- • Producto de binomios
- • Diferencia de cuadrados
📝 Transcripción de la página (texto seleccionable) 1753 caracteres
Cuando las expresiones numéricas tienen en el denominador una o más raíces, & Recuerda que estas pueden ser eliminadas a través de un proceso llamado racionalización. De acuerdo con la forma del denominador, analizaremos tres casos de racionalización. El conjugado de
adx=b es adx+b
y su producto es El denominador contiene un solo término formado por una sola raíz cuadrada. En Gx Dk, este caso, basta multiplicar numerador y denominador por la misma raíz cuadrada.
Caso 1
El conjugado de
Ejemplo 1 adx=b y es alx+bfy Racionalizar la expresión obtenida como resultado en la situación inicial. y e peras Co Solución ax=b'y.
2 137 _ 8/37 _ 8/37 Multiplicamos el numerador y el denominador 137 437 37237 ¿
por 4/37 y aplicamos propiedades.
Caso 2 Ñ Competencia digital
Siel denominador de la fracción contiene dos términos en uno de los cuales o en Amplía tu conocimiento
los dos hay una raíz cuadrada, se multiplica el numerador y el denominador por sobre racionalización ingresando al siguiente
el conjugado del denominador. El conjugado de una suma es la resta y viceversa. env a ori CG
| El producto que resulta, (Vx+y)(vx-Wy), es igual a (vx) -(Jy).
Ejemplo 2 PROFE
ee Eis
M47EM47 1045
Racionalizar ALEX
Solución Multiplicamos el numerador y el denominador por 4/5 - /3
A A668
Caso 3 : ñ F Pe Fie, ' Ñ Competencia digital Si el denominador solo tiene un término con una raíz de índice cualquiera, n,
se multiplica numerador y denominador por otra raíz de índice n que complete Ingresa al siguiente una potencia de exponente n. enlace web y realiza ejercicios interactivos de racionalización.
lynk.ec/9m07
Ejemplo 3 Racionalizar ae Ie Solución El factor racionalizante es /6? porque completa el exponente 5. 8 8 de sl Je Ie le” 6
Otros libros recomendados
Matematica 9° · Postprimaria
MinEducación
214 págs.
Matematica 6° · Postprimaria
MinEducación
222 págs.
Matematica 7° · Postprimaria
MinEducación
230 págs.
Matematica 8° · Postprimaria
MinEducación
266 págs.
Matematica 8° · Egb 8 Matematica 2025 · 2025
Ministerio de Educación del Ecuador
255 págs.
Matematica 1° · Bgu 1 Matematica 2024 · 2024
Ministerio de Educación del Ecuador
98 págs.
Matematica 2° · Bgu 2 Matematica 2024 · 2024
Ministerio de Educación del Ecuador
98 págs.
Matematica 3° · Bgu 3 Matematica 2024 · 2024
Ministerio de Educación del Ecuador
98 págs.