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Racionalización de números reales

📄 ejemplo Matemática 🎓 secundaria · 9° EGB Ecuador 🇪🇨 EC 🗣 Español

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Respuesta rápida

Saberes previos: $\frac{\sqrt{5}}{2}$ ; $-18\sqrt{2}$ ; $-\frac{27}{7}\sqrt[5]{3}$ . En el ejemplo: $l=2\sqrt{185}\ \text{cm}$ , $L=16\sqrt{5}\ \text{cm}$ y $\frac{L}{l}=\frac{8}{\sqrt{37}}=\frac{8\sqrt{37}}{37}$ .

Matemática ⭐⭐⭐ Dificultad 3/5 ⏱ 6 min lectura

Solución — Página 60

Matematica 9° · Egb 9 Matematica 2025 · 2025

Concepto principal

La racionalización es el proceso mediante el cual se eliminan las raíces del denominador de una expresión fraccionaria, obteniendo una expresión equivalente.

Ejemplo de los banderines

Para el triángulo pequeño, aplicamos el teorema de Pitágoras:

$l=\sqrt{(22\ \text{cm})^2+(16\ \text{cm})^2}=\sqrt{740\ \text{cm}^2}$

Como $740=4\cdot185$ :

$l=\sqrt{4\cdot185}\ \text{cm}=2\sqrt{185}\ \text{cm}$

Para el triángulo grande:

$L=\sqrt{(32\ \text{cm})^2+(16\ \text{cm})^2}=\sqrt{1280\ \text{cm}^2}$

Como $1280=256\cdot5$ :

$L=16\sqrt{5}\ \text{cm}$

La razón entre el lado grande y el lado pequeño es:

$\frac{L}{l}=\frac{16\sqrt{5}}{2\sqrt{185}}=8\sqrt{\frac{5}{185}}=8\sqrt{\frac{1}{37}}=\frac{8}{\sqrt{37}}$

Si se desea racionalizar el denominador:

$\frac{8}{\sqrt{37}}\cdot\frac{\sqrt{37}}{\sqrt{37}}=\frac{8\sqrt{37}}{37}$

Por tanto, el lado grande mide $\frac{8}{\sqrt{37}}$ veces el lado pequeño, equivalente a $\frac{8\sqrt{37}}{37}$ veces.

Saberes previos

$3\sqrt{5}+\sqrt{5}-\frac{7}{2}\sqrt{5}=\left(3+1-\frac{7}{2}\right)\sqrt{5}=\frac{1}{2}\sqrt{5}$
$4\sqrt{32}-4\sqrt{128}-\frac{2}{5}\sqrt{50}$

Como $\sqrt{32}=4\sqrt{2}$ , $\sqrt{128}=8\sqrt{2}$ y $\sqrt{50}=5\sqrt{2}$ :

$4(4\sqrt{2})-4(8\sqrt{2})-\frac{2}{5}(5\sqrt{2})=16\sqrt{2}-32\sqrt{2}-2\sqrt{2}=-18\sqrt{2}$

$-\frac{3}{7}\sqrt[5]{96}-\sqrt[5]{729}$

Como $96=32\cdot3=2^5\cdot3$ y $729=243\cdot3=3^5\cdot3$ :

$\sqrt[5]{96}=2\sqrt[5]{3},\qquad \sqrt[5]{729}=3\sqrt[5]{3}$

Entonces:

$-\frac{3}{7}(2\sqrt[5]{3})-3\sqrt[5]{3}=-\frac{6}{7}\sqrt[5]{3}-\frac{21}{7}\sqrt[5]{3}=-\frac{27}{7}\sqrt[5]{3}$

Contenido de la página

Racionalización de números reales

La racionalización elimina las raíces que aparecen en el denominador de una expresión fraccionaria, sin cambiar su valor.

Ejemplo geométrico

Se calculan las hipotenusas de dos triángulos rectángulos usando el teorema de Pitágoras y luego se divide el lado mayor entre el menor para obtener la razón entre sus medidas.

Idea socioemocional

Es importante respetar y comprender las opiniones de los compañeros durante el trabajo grupal.

Interculturalidad

El embanderamiento de las ciudades ecuatorianas durante las fechas cívicas es una manifestación de identidad y tradición.

Ejemplos resueltos

Calcular la razón entre el lado grande y el lado pequeño de los triángulos mostrados.

Los lados son $l=2\sqrt{185}\ \text{cm}$ y $L=16\sqrt{5}\ \text{cm}$ . Por tanto, $\frac{L}{l}=\frac{8}{\sqrt{37}}=\frac{8\sqrt{37}}{37}$ .

Fórmulas y ecuaciones

$a^2+b^2=c^2$

$\sqrt[n]{a^n b}$ =a $\sqrt[n]{b}$

$\frac{a}{\sqrt{b}}$ = $\frac{a\sqrt{b}}{b}$

l= $\sqrt{(22\ \text{cm})^2+(16\ \text{cm})^2}$ =2 $\sqrt{185}$ \ $\text{cm}$

L= $\sqrt{(32\ \text{cm})^2+(16\ \text{cm})^2}$ =16 $\sqrt{5}$ \ $\text{cm}$

$\frac{L}{l}$ = $\frac{8}{\sqrt{37}}$ = $\frac{8\sqrt{37}}{37}$

Glosario (4)

Racionalización: Proceso de transformar una expresión equivalente para eliminar raíces del denominador.
Radical: Expresión que contiene una raíz, como $\sqrt{a}$ o $\sqrt[n]{a}$.
Hipotenusa: Lado de mayor longitud en un triángulo rectángulo, opuesto al ángulo recto.
Raíces semejantes: Raíces que tienen el mismo índice y el mismo radicando después de simplificarlas.

Temas y conceptos clave

Racionalización de números realesSimplificación de radicalesAplicación del teorema de PitágorasRadicalÍndice de una raízRadicales semejantesRacionalizaciónHipotenusa

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Figuras de la página (1)

Fotografía de niños bailando en las calles de Baños de Agua Santa, Ecuador. — Figura 2 image

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📌 Antes de leer esto

• Propiedades de las potencias
• Simplificación de raíces
• Operaciones con números reales
• Teorema de Pitágoras

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Racionalización de denominadores con raíces cuadradas y raíces de índice mayor

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Tema 3

25 Competencia

socioemocional Respeta y entiende el criterio y los puntos de vista de tus

compañeros cuando trabajes en grupo.

Reflexiona y comenta en la clase.

22cm

32 cm

$ Interculturalidad

Como muestra de identidad, las ciudades se embanderan a propósito de las

fechas cívicas. Los municipios, a través de ordenanzas, obligan a los propietarios de las viviendas a cumplir con esta actividad que suma colorido a los desfiles

y coreografías que se presentan.

Grupo de niños bailando en las calles de Baños de Agua Santa - Ecuador

Racionalización de números reales

Saberes previos

Realiza en tu cuaderno las siguientes operaciones:

EA 435 ~ 436-250

20963 729

La racionalización de números reales es el proceso que se aplica sobre una ex- presión fraccionaria que contiene raíces de índice n, mediante el cual se eliminan dichas raíces del denominador y en ocasiones del numerador, obteniendo una expresión equivalente a la original.

Veamos el siguiente ejemplo:

Wilma elabora banderines para adornar las calles de su barrio, a propósito de la fundación de la ciudad donde habita. Estos banderines están conformados por algunos triángulos de medidas diferentes, como se muestra en la figura. ¿Cuántas veces más grande es el lado del triángulo grande con respecto al lado del triángulo pequeño? Expresar el valor exacto.

Como primer paso, calculamos el valor de los lados de cada triángulo. Estos lados corresponden a la hipotenusa de los triángulos rectángulos que se forman entre la altura y la mitad de la base de los triángulos.

/ L 22 [cm 32|cm 16 cm 16cm |= (22 cm) +(16 cm) L=/(32 am) +(16 am)

1=V740 cm L=1280 cm? |=4/2? :185 cm’? L=42*-5 cm? I=/4 cm? -Vi85 LaV2om - 5 | =2V185 cm L=1645 cm

Para conocer cuántas veces más grande es un lado con respecto al otro, debemos dividir el lado mayor para el lado menor.

Reemplazamos los valores y aplicamos propiedades hasta expresar la respuesta más simplificada.

$L_16Y5$ am _ East | 2/185 cm 185 37 /37 /37 4/37 8 El lado del triángulo más grande es Wy cm mas grande que el lado del triangulo pequeno.

M.4.1.36. Reescribir expresiones numéricas o algebraicas con raíces en el denominador utilizando propiedades en R (racionalización).

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