Escribe el factor racionalizante de cada expresión: a) 5e; b) 627; c) [3]4; d) [5]3^4; e) 5; f) [8]9^5; g) 3+11; h) 5-1; i) 2-7; j) 213+41.

5e; 3; [3]16; [5]3; 5; [8]729^3; 3-11; 5+1; 2+7; 213-41

Escribe el factor racionalizante de: a) 37; b) 2a[3]4; c) 5x[5]9x^3y; d) a-1[3](a-1)^2; e) 6m[3]100mn^2; f) x+22+3.

7; [3]16; [5]27x^2y^4; [3]a-1; [3]10m^2n; 3-2

Racionaliza y selecciona la respuesta correcta: a) 105; b) 32[3]xy^2; d) 6+[3]2[3]2.

a) A=25; b) C=3[3]x^2y2xy; d) B=3[3]4+1

Libro de Matemática 9 EGB

Ministerio de Educación del Ecuador

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Factor racionalizante y racionalización

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Respuesta rápida

a) $\sqrt{5e}$ ; b) $\sqrt{3}$ ; c) $\sqrt[3]{16}$ ; d) $\sqrt[5]{3}$ ; e) $\sqrt{5\pi}$ ; f) $\sqrt[8]{729\varphi^3}$ ; g) $\sqrt{3}-\sqrt{11}$ ; h) $\sqrt{5}+1$ ; i) $2+\sqrt{7}$ ; j) $2\sqrt{13}-\sqrt{41}$ .
a) $\sqrt{3}$ ; b) $-4\pi\sqrt{2}$ ; c) $\frac{\sqrt{14}}{14}$ ; d) $\frac{\sqrt{5}}{55}$ ; e) $\frac{2\sqrt{65}}{13}$ .
a) $\sqrt{7}$ ; b) $\sqrt[3]{16}$ ; c) $\sqrt[5]{27x^2y^4}$ ; d) $\sqrt[3]{a-1}$ ; e) $\sqrt[3]{10m^2n}$ ; f) $3-\sqrt{2}$ .
a) A; b) C; d) B.

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Solución — Página 62

Matematica 9° · Egb 9 Matematica 2025 · 2025

Ejercicio 1

Concepto

El factor racionalizante es la expresión que, al multiplicarse por otra que contiene radicales, permite eliminar los radicales del denominador o convertirlos en potencias enteras.

Ejercicio 1

Factores racionalizantes

Se completan los exponentes de los factores que están dentro de cada radical. En expresiones binomiales se utiliza el conjugado.

a) Para $\sqrt{5e}$ , el factor es $\sqrt{5e}$ , porque $\sqrt{5e}\cdot\sqrt{5e}=5e$ .
b) Como $27=3^3$ , se multiplica por $\sqrt{3}$ : $\sqrt{27}\cdot\sqrt{3}=\sqrt{81}=9$ .
c) Como $4=2^2$ , se multiplica por $\sqrt[3]{16}=\sqrt[3]{2^4}$ : $\sqrt[3]{4}\cdot\sqrt[3]{16}=\sqrt[3]{64}=4$ .
d) Se completa el exponente $4$ hasta $5$ : el factor es $\sqrt[5]{3}$ .
e) El factor de $\sqrt{5\pi}$ es $\sqrt{5\pi}$ .
f) En $\sqrt[8]{9\varphi^5}=\sqrt[8]{3^2\varphi^5}$ se completa hasta exponentes múltiplos de $8$ : el factor es $\sqrt[8]{3^6\varphi^3}=\sqrt[8]{729\varphi^3}$ .
g) El conjugado de $\sqrt{3}+\sqrt{11}$ es $\sqrt{3}-\sqrt{11}$ .
h) El conjugado de $\sqrt{5}-1$ es $\sqrt{5}+1$ .
i) El conjugado de $2-\sqrt{7}$ es $2+\sqrt{7}$ .
j) El conjugado de $2\sqrt{13}+\sqrt{41}$ es $2\sqrt{13}-\sqrt{41}$ .

Ejercicio 2

Racionalización

a) $\frac{3}{\sqrt{3}}\cdot\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3}}=\frac{3\sqrt{3}}{3}=\sqrt{3}$ .
b) $-\frac{8\pi}{\sqrt{2}}\cdot\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}}=-\frac{8\pi\sqrt{2}}{2}=-4\pi\sqrt{2}$ .
c) $\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{28}}=\frac{1}{\sqrt{14}}$ . Entonces $\frac{1}{\sqrt{14}}\cdot\frac{\sqrt{14}}{\sqrt{14}}=\frac{\sqrt{14}}{14}$ .
d) $\frac{1}{11\sqrt{5}}\cdot\frac{\sqrt{5}}{\sqrt{5}}=\frac{\sqrt{5}}{55}$ .
e) $\frac{4\sqrt{5}}{2\sqrt{13}}=\frac{2\sqrt{5}}{\sqrt{13}}\cdot\frac{\sqrt{13}}{\sqrt{13}}=\frac{2\sqrt{65}}{13}$ .

Ejercicio 3

Factores racionalizantes

a) $\frac{3}{\sqrt{7}}$ : factor $\sqrt{7}$ .
b) $\frac{2a}{\sqrt[3]{4}}$ : factor $\sqrt[3]{16}$ , porque $\sqrt[3]{4}\cdot\sqrt[3]{16}=\sqrt[3]{64}=4$ .
c) $\frac{5x}{\sqrt[5]{9x^3y}}$ : factor $\sqrt[5]{27x^2y^4}$ , pues $9x^3y\cdot27x^2y^4=3^5x^5y^5$ .
d) $\frac{a-1}{\sqrt[3]{(a-1)^2}}$ : factor $\sqrt[3]{a-1}$ .
e) $\frac{6m}{\sqrt[3]{100mn^2}}$ : factor $\sqrt[3]{10m^2n}$ , pues $100mn^2\cdot10m^2n=1000m^3n^3$ .
f) $\frac{x+2}{\sqrt{2}+3}$ : factor conjugado $3-\sqrt{2}$ .

Ejercicio 4

Selección de la respuesta correcta

a) $\frac{10}{\sqrt{5}}\cdot\frac{\sqrt{5}}{\sqrt{5}}=\frac{10\sqrt{5}}{5}=2\sqrt{5}$ . Corresponde a la opción A.
b) $\frac{3}{2\sqrt[3]{xy^2}}\cdot\frac{\sqrt[3]{x^2y}}{\sqrt[3]{x^2y}}=\frac{3\sqrt[3]{x^2y}}{2\sqrt[3]{x^3y^3}}=\frac{3\sqrt[3]{x^2y}}{2xy}$ . Corresponde a la opción C.
d) $\frac{6+\sqrt[3]{2}}{\sqrt[3]{2}}=\frac{6}{\sqrt[3]{2}}+1=\frac{6\sqrt[3]{4}}{2}+1=3\sqrt[3]{4}+1$ . Corresponde a la opción B.

Contenido de la página

Factor racionalizante

Es el factor que transforma una expresión radical en otra sin radicales, especialmente en el denominador. Para raíces de índice $n$ , se completan los exponentes de los factores interiores hasta llegar a múltiplos de $n$ .

Conjugados

Los conjugados de $a+b$ y $a-b$ son, respectivamente, $a-b$ y $a+b$ . Su producto elimina los términos radicales cruzados mediante la diferencia de cuadrados.

Ejemplos resueltos

Racionaliza $\frac{3}{\sqrt{7}}$ .

Multiplicamos por $\frac{\sqrt{7}}{\sqrt{7}}$ : $\frac{3}{\sqrt{7}}=\frac{3\sqrt{7}}{7}$ .

Racionaliza $\frac{6+\sqrt[3]{2}}{\sqrt[3]{2}}$ .

Se separan los términos: $\frac{6}{\sqrt[3]{2}}+1$ . Luego $\frac{6}{\sqrt[3]{2}}=\frac{6\sqrt[3]{4}}{2}=3\sqrt[3]{4}$ . Por tanto, el resultado es $3\sqrt[3]{4}+1$ .

Fórmulas y ecuaciones

$\frac{a}{\sqrt{b}}\cdot\frac{\sqrt{b}}{\sqrt{b}}=\frac{a\sqrt{b}}{b}$

$\frac{a}{\sqrt[n]{b^k}}\cdot\frac{\sqrt[n]{b^{n-k}}}{\sqrt[n]{b^{n-k}}}=\frac{a\sqrt[n]{b^{n-k}}}{b}$

$\sqrt{a}\cdot\sqrt{a}=a$

$\sqrt[3]{a}\cdot\sqrt[3]{a^2}=a$

$(a+b)(a-b)=a^2-b^2$

Glosario (4)

Factor racionalizante: Expresión que se multiplica por otra radical para eliminar los radicales del denominador.
Conjugado: Binomio que tiene los mismos términos que otro, pero con el signo central cambiado.
Radicando: Cantidad que se encuentra dentro de un radical.
Índice: Número que indica el tipo de raíz, como $2$ en una raíz cuadrada o $3$ en una raíz cúbica.

Temas y conceptos clave

Factor racionalizanteRacionalización de denominadoresConjugados de expresiones radicalesPara una raíz de índice $n$, se completan los exponentes hasta múltiplos de $n$.El conjugado cambia el signo entre los términos de un binomio.Racionalizar significa eliminar radicales del denominador.En una fracción se multiplica numerador y denominador por la misma expresión.

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