Determina la conjugada y la racionalizada de las seis expresiones dadas.

2-75; 5(5+3)2; -11(2+3)7; 13-56; 43+147; 3(25-32)2

Racionaliza las ocho expresiones algebraicas.

5-12; 3(3+2); 42+324; 3+22; 311-35-222+210; x+y-2xyx-y; 23+210; -a+1+a+1a

Determina el factor racionalizante y racionaliza las cinco expresiones.

22; [6]3; -[3]253; 6[8]26^313; [3]36^22

Convierte los radicales a equivalentes, simplifica y expresa la respuesta racionalizada.

e^2[6]; [12]5^9e^11^22; 43[12]2^10

Indaga cómo racionalizar una expresión cuyo denominador es un trinomio con radicales.

Aplicar conjugadas sucesivamente y simplificar en cada paso.

Libro de Matemática 9 EGB

Ministerio de Educación del Ecuador

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Racionalización de denominadores

📄 ejercicios Matemática 🎓 secundaria · 9° EGB Ecuador 🇪🇨 EC 🗣 Español

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a) Conjugada: $\sqrt{2}-\sqrt{7}$ ; racionalizada: $\frac{\sqrt{2}-\sqrt{7}}{5}$ . b) $\sqrt{5}+\sqrt{3}$ ; $\frac{5(\sqrt{5}+\sqrt{3})}{2}$ . c) $\sqrt{2}+3$ ; $-\frac{11(\sqrt{2}+3)}{7}$ . d) $5-\sqrt{13}$ ; $\frac{\sqrt{13}-5}{6}$ . e) $4\sqrt{3}+1$ ; $\frac{4\sqrt{3}+1}{47}$ . f) $2\sqrt{5}-3\sqrt{2}$ ; $\frac{3(2\sqrt{5}-3\sqrt{2})}{2}$ .
a) $\frac{\sqrt{5}-1}{2}$ ; b) $3(\sqrt{3}+\sqrt{2})$ ; c) $\frac{\sqrt{42}+3\sqrt{2}}{4}$ ; d) $3+2\sqrt{2}$ ; e) $3\sqrt{11}-3\sqrt{5}-2\sqrt{22}+2\sqrt{10}$ ; f) $\frac{x+y-2\sqrt{xy}}{x-y}$ ; g) $\frac{2\sqrt{3}+\sqrt{2}}{10}$ ; h) $-\frac{a+1+\sqrt{a+1}}{a}$ .
Propuesta resuelta: $\frac{4(\sqrt{7}-\sqrt{2})}{5}$ .
a) $\sqrt{2}$ , $\frac{\sqrt{2}}{2}$ ; b) $\sqrt[6]{3}$ , $\sqrt[6]{3}$ ; c) $\sqrt[3]{25}$ , $-\frac{\sqrt[3]{25}}{3}$ ; d) $\sqrt[8]{26^3}$ , $\frac{6\sqrt[8]{26^3}}{13}$ ; e) $\sqrt[3]{36\pi^2}$ , $\frac{\sqrt[3]{36\pi^2}}{2}$ .
a) $2(\sqrt{3+\pi}-\sqrt{2+\pi})$ ; b) $-\frac{\sqrt{2e-7}+\sqrt{5e-7}}{e}$ .
a) $\frac{e^2\sqrt[6]{\pi}}{\pi}$ ; b) $\sqrt[12]{5^9e^{11}\pi^{22}}$ ; c) $4\sqrt{3}\sqrt[12]{2^{10}}$ .
$x-y$ . 12. Usar conjugadas y diferencia de cuadrados sucesivamente.

📚 exercise Matemática ⭐⭐⭐⭐ Dificultad 4/5 ⏱ 15 min lectura

Solución — Página 63

Matematica 9° · Egb 9 Matematica 2025 · 2025

Ejercicio 1

Procedimiento general

Para racionalizar un denominador con dos términos se multiplica por su conjugada. Se usa la identidad $(a+b)(a-b)=a^2-b^2.$ Para radicales de índice mayor que dos, se multiplica por el radical que complete una potencia exacta.

Ejercicio 5

Parte 5.a

Denominador: $\sqrt{2}+\sqrt{7}$ . Su conjugada es $\sqrt{2}-\sqrt{7}$ .

$-\frac{1}{\sqrt{2}+\sqrt{7}}\cdot\frac{\sqrt{2}-\sqrt{7}}{\sqrt{2}-\sqrt{7}}=\frac{\sqrt{2}-\sqrt{7}}{5}.$

Parte 5.b

La conjugada de $\sqrt{5}-\sqrt{3}$ es $\sqrt{5}+\sqrt{3}$ .

$\frac{5}{\sqrt{5}-\sqrt{3}}\cdot\frac{\sqrt{5}+\sqrt{3}}{\sqrt{5}+\sqrt{3}}=\frac{5(\sqrt{5}+\sqrt{3})}{2}.$

Parte 5.c

La conjugada de $\sqrt{2}-3$ es $\sqrt{2}+3$ .

$\frac{11}{\sqrt{2}-3}\cdot\frac{\sqrt{2}+3}{\sqrt{2}+3}=-\frac{11(\sqrt{2}+3)}{7}.$

Parte 5.d

La conjugada de $5+\sqrt{13}$ es $5-\sqrt{13}$ .

$\frac{-2}{5+\sqrt{13}}\cdot\frac{5-\sqrt{13}}{5-\sqrt{13}}=\frac{\sqrt{13}-5}{6}.$

Parte 5.e

La conjugada de $4\sqrt{3}-1$ es $4\sqrt{3}+1$ .

$\frac{1}{4\sqrt{3}-1}\cdot\frac{4\sqrt{3}+1}{4\sqrt{3}+1}=\frac{4\sqrt{3}+1}{47}.$

Parte 5.f

La conjugada de $2\sqrt{5}+3\sqrt{2}$ es $2\sqrt{5}-3\sqrt{2}$ .

$\frac{3}{2\sqrt{5}+3\sqrt{2}}\cdot\frac{2\sqrt{5}-3\sqrt{2}}{2\sqrt{5}-3\sqrt{2}}=\frac{3(2\sqrt{5}-3\sqrt{2})}{2}.$

Ejercicio 6

Parte 6.a

$\frac{2}{\sqrt{5}+1}\cdot\frac{\sqrt{5}-1}{\sqrt{5}-1}=\frac{\sqrt{5}-1}{2}.$

Parte 6.b

$\frac{3}{\sqrt{3}-\sqrt{2}}\cdot\frac{\sqrt{3}+\sqrt{2}}{\sqrt{3}+\sqrt{2}}=3(\sqrt{3}+\sqrt{2}).$

Parte 6.c

$\frac{\sqrt{6}}{\sqrt{7}-\sqrt{3}}\cdot\frac{\sqrt{7}+\sqrt{3}}{\sqrt{7}+\sqrt{3}}=\frac{\sqrt{42}+3\sqrt{2}}{4}.$

Parte 6.d

$\frac{\sqrt{2}+1}{\sqrt{2}-1}\cdot\frac{\sqrt{2}+1}{\sqrt{2}+1}=(\sqrt{2}+1)^2=3+2\sqrt{2}.$

Parte 6.e

$\frac{\sqrt{11}-\sqrt{5}}{\sqrt{8}+3}\cdot\frac{\sqrt{8}-3}{\sqrt{8}-3}$

Como $8-9=-1$ , resulta:

$3\sqrt{11}-3\sqrt{5}-2\sqrt{22}+2\sqrt{10}.$

Parte 6.f

$\frac{\sqrt{x}-\sqrt{y}}{\sqrt{x}+\sqrt{y}}\cdot\frac{\sqrt{x}-\sqrt{y}}{\sqrt{x}-\sqrt{y}}=\frac{x+y-2\sqrt{xy}}{x-y}.$

Parte 6.g

Se factoriza $\sqrt{x}$ en el denominador:

$\frac{\sqrt{x}}{2\sqrt{3x}-\sqrt{2x}}=\frac{1}{2\sqrt{3}-\sqrt{2}}.$

Ahora se multiplica por la conjugada:

$\frac{1}{2\sqrt{3}-\sqrt{2}}\cdot\frac{2\sqrt{3}+\sqrt{2}}{2\sqrt{3}+\sqrt{2}}=\frac{2\sqrt{3}+\sqrt{2}}{10}.$

Parte 6.h

Sea $t=\sqrt{a+1}$ . Entonces:

$\frac{t}{1-t}\cdot\frac{1+t}{1+t}=\frac{t(1+t)}{1-t^2}=-\frac{a+1+\sqrt{a+1}}{a}.$

Ejercicio 7

Se debe formular un ejercicio semejante a los del número 5, resolverlo en pareja e intercambiarlo con otra pareja. Una propuesta es:

$\frac{4}{\sqrt{7}+\sqrt{2}}.$

Su conjugada es $\sqrt{7}-\sqrt{2}$ y su forma racionalizada es:

$\frac{4}{\sqrt{7}+\sqrt{2}}\cdot\frac{\sqrt{7}-\sqrt{2}}{\sqrt{7}-\sqrt{2}}=\frac{4(\sqrt{7}-\sqrt{2})}{5}.$

Ejercicio 8

Parte 8.a

Factor racionalizante: $\sqrt{2}$ .

$\frac{1}{\sqrt{2}}\cdot\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}}=\frac{\sqrt{2}}{2}.$

Parte 8.b

Factor racionalizante: $\sqrt[6]{3}$ .

$\frac{3}{\sqrt[6]{3^5}}\cdot\frac{\sqrt[6]{3}}{\sqrt[6]{3}}=\sqrt[6]{3}.$

Parte 8.c

Factor racionalizante: $\sqrt[3]{25}$ .

$\frac{-5}{3\sqrt[3]{5}}\cdot\frac{\sqrt[3]{25}}{\sqrt[3]{25}}=-\frac{\sqrt[3]{25}}{3}.$

Parte 8.d

Factor racionalizante: $\sqrt[8]{26^3}$ .

$\frac{12}{\sqrt[8]{26^5}}\cdot\frac{\sqrt[8]{26^3}}{\sqrt[8]{26^3}}=\frac{6\sqrt[8]{26^3}}{13}.$

Parte 8.e

Factor racionalizante: $\sqrt[3]{36\pi^2}$ .

$\frac{3\pi}{\sqrt[3]{6\pi}}\cdot\frac{\sqrt[3]{36\pi^2}}{\sqrt[3]{36\pi^2}}=\frac{\sqrt[3]{36\pi^2}}{2}.$

Ejercicio 9

Parte 9.a

Se multiplica por la conjugada del denominador:

$\frac{2}{\sqrt{2+\pi}+\sqrt{3+\pi}}\cdot\frac{\sqrt{3+\pi}-\sqrt{2+\pi}}{\sqrt{3+\pi}-\sqrt{2+\pi}}.$

El denominador es $(3+\pi)-(2+\pi)=1$ , por lo tanto:

$2\left(\sqrt{3+\pi}-\sqrt{2+\pi}\right).$

Parte 9.b

La conjugada de $\sqrt{2e-7}-\sqrt{5e-7}$ es $\sqrt{2e-7}+\sqrt{5e-7}$ .

$\frac{3}{\sqrt{2e-7}-\sqrt{5e-7}}\cdot\frac{\sqrt{2e-7}+\sqrt{5e-7}}{\sqrt{2e-7}+\sqrt{5e-7}}$

El denominador es $(2e-7)-(5e-7)=-3e$ . Entonces:

$-\frac{\sqrt{2e-7}+\sqrt{5e-7}}{e}.$

Ejercicio 10

Parte 10.a

Se convierten los radicales a potencias:

$\frac{e^{2/3}e^{3/2}}{e^{1/6}\pi^{5/6}}=\frac{e^2}{\pi^{5/6}}.$

Racionalizando:

$\frac{e^2\sqrt[6]{\pi}}{\pi}.$

Parte 10.b

$\frac{\sqrt{5^2e\pi}\cdot\sqrt[3]{e^2\pi^4}}{\sqrt[4]{5e}}=\frac{5e^{1/2}\pi^{1/2}\cdot e^{2/3}\pi^{4/3}}{5^{1/4}e^{1/4}}.$

Al combinar exponentes:

$5^{3/4}e^{11/12}\pi^{11/6}=\sqrt[12]{5^9e^{11}\pi^{22}}.$

Parte 10.c

Se simplifican los factores primos:

$\frac{\sqrt{48}\cdot\sqrt[3]{24}\cdot\sqrt[6]{2}}{\sqrt[4]{27}\cdot\sqrt[3]{6}}=\frac{2^{17/6}}{3^{1/4}}.$

Racionalizando el denominador:

$\frac{2^{17/6}}{\sqrt[4]{3}}\cdot\frac{\sqrt[4]{27}}{\sqrt[4]{27}}=4\sqrt{3}\sqrt[12]{2^{10}}.$

Ejercicio 11

Se aplica la identidad de diferencia de cuadrados:

$\left(\sqrt{x}+\sqrt{y}\right)\left(\sqrt{x}-\sqrt{y}\right)=(\sqrt{x})^2-(\sqrt{y})^2=x-y.$

Por eso, el producto es igual a $x-y$ .

Ejercicio 12

Si el denominador es un trinomio con radicales, se debe buscar una factorización o una combinación de conjugadas que permita eliminar los radicales progresivamente. Primero se agrupan dos términos y se multiplica por su conjugada; después se racionaliza el denominador restante, aplicando nuevamente la diferencia de cuadrados. Es importante simplificar cada paso antes de continuar.

Contenido de la página

Racionalización

Racionalizar significa transformar una fracción para que su denominador no contenga radicales. Si el denominador es un binomio, se utiliza su conjugada. Si contiene una raíz de índice mayor que dos, se multiplica por el radical que complete la potencia del índice.

Ejemplos resueltos

Racionalizar $\frac{1}{\sqrt{5}+1}$ .

$\frac{1}{\sqrt{5}+1}\cdot\frac{\sqrt{5}-1}{\sqrt{5}-1}=\frac{\sqrt{5}-1}{4}.$

Demostrar que $(\sqrt{x}+\sqrt{y})(\sqrt{x}-\sqrt{y})=x-y$ .

$(\sqrt{x})^2-(\sqrt{y})^2=x-y.$

Fórmulas y ecuaciones

$(a+b)(a-b)=a^2-b^2$

$\sqrt[n]{a^m}\cdot\sqrt[n]{a^{n-m}}=a$

$(a+b)(a-b)=a^2-b^2$

$(\sqrt{x}+\sqrt{y})(\sqrt{x}-\sqrt{y})=x-y$

Glosario (4)

Conjugada: Binomio que conserva los mismos términos, pero cambia el signo que los separa.
Factor racionalizante: Factor por el cual se multiplica una expresión para eliminar radicales del denominador.
Racionalizar: Eliminar radicales del denominador de una fracción.
Diferencia de cuadrados: Producto notable expresado por $(a+b)(a-b)=a^2-b^2$.

Preguntas para practicar

¿Por qué la multiplicación por la conjugada elimina los radicales del denominador?

¿Cómo se elige un factor racionalizante para una raíz de índice mayor que dos?

¿Qué estrategias se pueden aplicar cuando el denominador es un trinomio con radicales?

Temas y conceptos clave

ConjugadasRacionalización de denominadoresFactores racionalizantesRadicales equivalentesDiferencia de cuadradosLa conjugada cambia el signo entre dos términos.El producto de conjugadas produce una diferencia de cuadrados.Un factor racionalizante convierte el denominador radical en racional.Los radicales pueden expresarse como potencias con exponentes fraccionarios.

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Preguntas que la gente también hace

¿Cómo se racionaliza un denominador con dos radicales?

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¿Qué es el factor racionalizante de una raíz?

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¿Cómo se usa la conjugada para eliminar radicales?

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📌 Antes de leer esto

• Propiedades de los radicales
• Operaciones con potencias
• Productos notables
• Simplificación de fracciones algebraicas

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Operaciones combinadas con radicales y ecuaciones irracionales

📝 Transcripción de la página (texto seleccionable) 896 caracteres

Determina la conjugada y la racionalizada.
Determina el factor racionalizante y racionaliza.

Cc) ——

Racionaliza las siguientes expresiones.

V5 +1

si V8 +3

Trabajo colaborativo

Trabajen en parejas y resuelvan.

Formulen un ejercicio similar al número 5. En parejas, resuelvan los dos ejercicios formulados. Intercambien los ejercicios con otra pareja para su resolución.

a) 7 3 ” c) aoe 35 12. Y he 3a e) Ter