Áreas de polígonos regulares e irregulares

Fórmulas utilizadas

Para un polígono regular:

A=\frac{P\cdot ap}{2}=\frac{n\cdot l\cdot ap}{2}

En un polígono regular de n lados, el ángulo central es:

\alpha=\frac{360^\circ}{n}

Para un hexágono regular de lado l:

ap=\frac{\sqrt{3}}{2}l

A=\frac{3\sqrt{3}}{2}l^2

• Para l=40\,\text{cm}:

A=\frac{3\sqrt{3}}{2}(40)^2=2400\sqrt{3}\approx4156,92\,\text{cm}^2

• Para l=3,6\,\text{m}:

A=\frac{3\sqrt{3}}{2}(3,6)^2=19,44\sqrt{3}\approx33,67\,\text{m}^2

Se usa A=\frac{n l^2}{4\tan(180^\circ/n)}.

• Pentágono: \alpha=72^\circ y A\approx172,05\,\text{cm}^2.
• Nonágono: \alpha=40^\circ y A\approx890,18\,\text{m}^2.
• Heptágono: \alpha\approx51,43^\circ y A\approx523,27\,\text{m}^2.
• Octógono: \alpha=45^\circ y A\approx30,18\,\text{m}^2.
• Decágono: \alpha=36^\circ y A\approx0,79\,\text{m}^2.
• Hexágono: \alpha=60^\circ y A\approx1039,23\,\text{cm}^2.

Área del cuadrado:

A=l^2=(2,5)^2=6,25\,\text{cm}^2

La apotema es la mitad del lado:

ap=\frac{2,5}{2}=1,25\,\text{cm}

Comprobación con la fórmula de polígono regular:

A=\frac{(4)(2,5)(1,25)}{2}=6,25\,\text{cm}^2

Área de un hexágono de lado 10\,\text{cm}:

A=\frac{3\sqrt{3}}{2}(10)^2=150\sqrt{3}\approx259,81\,\text{cm}^2

En metros cuadrados:

259,81\,\text{cm}^2\approx0,025981\,\text{m}^2

Número de adoquines:

\frac{200}{0,025981}\approx7698,00

Como no se puede usar una fracción de adoquín, se necesitan 7699 adoquines para cubrir completamente el patio.

Área de uno de los triángulos:

A_t=\frac{b\cdot h}{2}=\frac{12\cdot8,26}{2}=49,56\,\text{cm}^2

El pentágono está formado por cinco triángulos:

A=5(49,56)=247,80\,\text{cm}^2

Comprobación mediante la fórmula del polígono regular:

A=\frac{P\cdot ap}{2}=\frac{(5\cdot12)(8,26)}{2}=247,80\,\text{cm}^2

En la figura a se descompone el polígono en rectángulos y triángulos, o se aplica la fórmula del área mediante coordenadas. El resultado es:

A_a=30\,\text{cm}^2

Para la figura b, se divide la figura en regiones conocidas y se suman las áreas de las partes que forman el polígono. El área aproximada es:

A_b\approx477\,\text{cm}^2

El cuadrado está inscrito en una circunferencia de radio 8\,\text{cm}. Su diagonal mide 16\,\text{cm}, por lo tanto:

l=\frac{16}{\sqrt{2}}=8\sqrt{2}\,\text{cm}

Área del cuadrado:

A_c=l^2=(8\sqrt{2})^2=128\,\text{cm}^2

Cada triángulo equilátero tiene área:

A_t=\frac{\sqrt{3}}{4}(8\sqrt{2})^2=32\sqrt{3}\,\text{cm}^2

Como hay cuatro triángulos:

A_e=128+4(32\sqrt{3})=128+128\sqrt{3}\approx349,70\,\text{cm}^2

Para el dodecágono de lado 4\,\text{cm} y apotema 7,46\,\text{cm}:

P=12\cdot4=48\,\text{cm}

A=\frac{48\cdot7,46}{2}=179,04\,\text{cm}^2

Para inscribir un polígono regular se dibuja una circunferencia, se divide el ángulo completo de 360^\circ entre el número de lados y se marcan esos ángulos centrales. Después se unen consecutivamente los puntos marcados.