Área total del prisma y superficie del cono

Ejemplo 1: área total del prisma

El prisma tiene una base hexagonal regular, seis caras laterales rectangulares y dos bases hexagonales.

Datos:

• Lado del hexágono: 8\ \text{cm}.
• Apotema de la base: 6{,}93\ \text{cm}.
• Altura del prisma: 20\ \text{cm}.

El área lateral es:

A_L=6\cdot 8\cdot 20=960\ \text{cm}^2

El área de una base hexagonal regular es:

A_B=\frac{P\cdot ap}{2}=\frac{(6\cdot 8)\cdot 6{,}93}{2}=166{,}32\ \text{cm}^2

Como el prisma tiene dos bases:

A_T=A_L+2A_B

A_T=960+2(166{,}32)=1\,292{,}64\ \text{cm}^2

Por tanto, el área total del prisma es 1\,292{,}64\ \text{cm}^2.

Ejemplo 2: superficie del cono

En la página, el enunciado menciona el área lateral del cono; sin embargo, el procedimiento mostrado calcula la superficie total, porque suma el área de la base y el área lateral.

La base es un círculo de área:

A_B=\pi r^2

La superficie lateral se obtiene como el área de un sector circular. La longitud de su arco es el perímetro de la base, 2\pi r, y su radio es la generatriz g:

A_L=\frac{(2\pi r)g}{2}=\pi rg

Entonces, la superficie total del cono es:

A_T=A_B+A_L=\pi r^2+\pi rg=\pi r(r+g)

La generatriz se calcula aplicando el teorema de Pitágoras al triángulo formado por la altura y el radio:

g=\sqrt{h^2+r^2}

Por tanto, si se solicita únicamente el área lateral, se usa A_L=\pi rg; si se solicita el área total, se usa A_T=\pi r^2+\pi rg.

Elementos del cono

En el dibujo del cono se deben identificar:

• Vértice: punto superior del cono.
• Base: círculo inferior.
• Radio (r): segmento desde el centro de la base hasta su borde.
• Altura (h): segmento perpendicular desde el vértice al centro de la base.
• Generatriz (g): segmento inclinado desde el vértice hasta un punto de la circunferencia de la base.