Áreas y volúmenes de cuerpos geométricos

Fórmulas utilizadas

• Cono: A_T=\pi r^2+\pi rg y V=\frac{1}{3}\pi r^2h.
• Cilindro: A_T=2\pi r^2+2\pi rh y V=\pi r^2h.
• Pirámide regular: A_L=\frac{Pg}{2}.
• Prisma: V=A_bh.
• Cono truncado: A_L=\pi(r_1+r_2)g.

a) El diámetro es 4\ \text{cm}, por tanto r=2\ \text{cm}. La generatriz es:

g=\sqrt{r^2+h^2}=\sqrt{2^2+17^2}=\sqrt{293}\approx17,12\ \text{cm}

A_T=\pi r(r+g)=\pi(2)(2+\sqrt{293})\approx120,01\ \text{cm}^2

b)

A_L=\frac{Pg}{2}

100=\frac{40g}{2}=20g

g=5\ \text{cm}

c) La longitud de la circunferencia es 2\pi r=10\pi, así que r=5\ \text{m}. El diámetro y la altura miden 10\ \text{m}. Entonces:

g=\sqrt{5^2+10^2}=5\sqrt{5}\ \text{m}

A_T=\pi r(r+g)=25\pi(1+\sqrt{5})\approx254,18\ \text{m}^2

d) El diámetro es 4\ \text{m}, entonces r=2\ \text{m}.

24\pi=2\pi(2)^2+2\pi(2)h

24\pi=8\pi+4\pi h

h=4\ \text{m}

e) Para una pirámide hexagonal regular, si s es el lado de la base, su apotema es a=\frac{\sqrt{3}}{2}s y la generatriz es g=\sqrt{18^2+a^2}. Como A_L=648\ \text{cm}^2:

648=\frac{6s\sqrt{324+\frac{3}{4}s^2}}{2}

Al resolver, se obtiene s^2\approx113,95. Por tanto:

A_b=\frac{3\sqrt{3}}{2}s^2\approx296,04\ \text{cm}^2

La diferencia entre los radios es 30-20=10\ \text{cm}. La generatriz es:

g=\sqrt{h^2+(r_1-r_2)^2}=\sqrt{40^2+10^2}=10\sqrt{17}\approx41,23\ \text{cm}

A_L=\pi(30+20)(10\sqrt{17})=500\pi\sqrt{17}\approx6468,10\ \text{cm}^2

Se debe abrir la caja, retirar las pestañas y medir las caras rectangulares y las bases. Luego se suman sus áreas:

A_T=2A_b+A_L

El resultado depende de las medidas de la caja elegida.

Con g=10\ \text{cm} y r=5\ \text{cm}:

h=\sqrt{g^2-r^2}=\sqrt{10^2-5^2}=5\sqrt{3}\approx8,66\ \text{cm}

A_T=\pi r^2+\pi rg=25\pi+50\pi=75\pi\approx235,62\ \text{cm}^2

V=\frac{1}{3}\pi r^2h=\frac{125\sqrt{3}\pi}{3}\approx226,72\ \text{cm}^3

El volumen de un cilindro es V=\pi r^2h. Si el diámetro de A es la mitad del de B, entonces r_A=\frac{1}{2}r_B. Como los volúmenes son iguales:

\pi\left(\frac{r_B}{2}\right)^2h_A=\pi r_B^2h_B

\frac{1}{4}h_A=h_B

h_A=4h_B

La respuesta correcta es la opción b.

a) La figura está formada por un cubo de arista 6\ \text{m} y una pirámide cuadrangular de base 6\ \text{m} y altura 5\ \text{m}.

V=6^3+\frac{1}{3}(6^2)(5)=216+60=276\ \text{m}^3

b) La figura está formada por un cono y una semiesfera de radio 12\ \text{cm}. La generatriz del cono mide 20\ \text{cm}.

h=\sqrt{20^2-12^2}=\sqrt{256}=16\ \text{cm}

V_{cono}=\frac{1}{3}\pi(12)^2(16)=768\pi\ \text{cm}^3

V_{semiesfera}=\frac{2}{3}\pi(12)^3=1152\pi\ \text{cm}^3

V_T=1920\pi\approx6031,86\ \text{cm}^3

La actividad consiste en investigar un desarrollo plano, dibujarlo en cartulina, recortarlo, doblarlo y explicar el procedimiento. No tiene una respuesta numérica única.