Problemas propuestos

Estrategias generales

Para resolver los problemas se utilizan estas fórmulas:

• Prisma rectangular: A_T=2(lw+lh+wh).
• Prisma: A_T=A_L+A_B, donde A_B representa el área total de las dos bases cuando así se indica.
• Área lateral de un prisma: A_L=P_Bh.
• Área de un cilindro: A_T=2\pi r^2+2\pi rh.
• Si una medida aumenta en un porcentaje, se multiplica por 1+\frac{p}{100}.
• Si una medida disminuye en un porcentaje, se multiplica por 1-\frac{p}{100}.

Comprender: El área lateral es 500\ \text{cm}^2 y el área total es 1100\ \text{cm}^2. Se pide el lado de la base después de aumentar su área en 25\%.

Plantear: Primero se calcula el área de las dos bases y luego el área de una base. Después se aumenta esta área en 25\% y se obtiene la raíz cuadrada.

Aplicar:

A_{B\text{ total}}=1100-500=600\ \text{cm}^2

A_B=\frac{600}{2}=300\ \text{cm}^2

A_B'=300(1,25)=375\ \text{cm}^2

Como la base es cuadrada:

l=\sqrt{375}=5\sqrt{15}\approx 19,36\ \text{cm}

Responder: El lado de la nueva base mide aproximadamente 19,36\ \text{cm}.

Comprender: El área total inicial es 5380\ \text{cm}^2, el área de las dos bases es 1380\ \text{cm}^2 y la altura disminuye en 10\%.

Plantear: Se calcula el área lateral inicial. Como el área lateral es directamente proporcional a la altura, se reduce en 10\% y se suma nuevamente el área de las bases.

Aplicar:

A_L=5380-1380=4000\ \text{cm}^2

h'=40(0,90)=36\ \text{cm}

A_L'=4000(0,90)=3600\ \text{cm}^2

A_T'=3600+1380=4980\ \text{cm}^2

Responder: La nueva área total es 4980\ \text{cm}^2.

Comprender: El tanque nuevo tiene lado de la base de 50\ \text{cm}, altura de 2\ \text{m}=200\ \text{cm} y un área lateral 25\% mayor que la del tanque original.

Plantear: Se calcula el área lateral del tanque nuevo y se divide para 1,25 para hallar el área lateral original. Luego se usa A_L=P_Bh.

Aplicar:

P_B=4(50)=200\ \text{cm}

A_{L\text{ nuevo}}=200(200)=40000\ \text{cm}^2

A_{L\text{ original}}=\frac{40000}{1,25}=32000\ \text{cm}^2

h=\frac{32000}{200}=160\ \text{cm}=1,6\ \text{m}

Responder: La altura del primer tanque era de 1,6\ \text{m}.

Comprender: La caja mide 60\ \text{cm}\times40\ \text{cm}\times50\ \text{cm} y se reduce en 75\%. Por tanto, cada dimensión queda en el 25\% de la original.

Plantear: Se calcula el área total original y luego se multiplica por (0,25)^2, porque las áreas cambian con el cuadrado de la escala.

Aplicar:

A_T=2(60\cdot40+60\cdot50+40\cdot50)

A_T=2(2400+3000+2000)=14800\ \text{cm}^2

La escala lineal es 0,25:

A_T'=14800(0,25)^2=14800(0,0625)=925\ \text{cm}^2

Responder: El área de la caja construida a escala será de 925\ \text{cm}^2.

Comprender: La caja actual tiene área total de 4920\ \text{cm}^2, base de 45\ \text{cm}\times20\ \text{cm} y altura de 24\ \text{cm}. Esta altura representa un aumento del 20\% respecto de la altura anterior.

Plantear: Se calcula la altura anterior dividiendo la altura actual para 1,20. Luego se calcula el área total con esa altura.

Aplicar:

h_{\text{anterior}}=\frac{24}{1,20}=20\ \text{cm}

A_{T\text{ anterior}}=2(45\cdot20+45\cdot20+20\cdot20)

A_{T\text{ anterior}}=2(900+900+400)=4400\ \text{cm}^2

Responder: El área de la caja anterior era de 4400\ \text{cm}^2.

Comprender: El terreno mide 45\ \text{m} de largo y 25\ \text{m} de ancho. Ambas medidas aumentan en 15\%.

Plantear: Se calculan las nuevas dimensiones, el área nueva y la diferencia entre el área nueva y la original.

Aplicar:

l'=45(1,15)=51,75\ \text{m}

a'=25(1,15)=28,75\ \text{m}

A_{\text{original}}=45\cdot25=1125\ \text{m}^2

A_{\text{nuevo}}=51,75\cdot28,75=1487,8125\ \text{m}^2

\Delta A=1487,8125-1125=362,8125\ \text{m}^2

Responder: El área del terreno se incrementa en 362,8125\ \text{m}^2, aproximadamente 362,81\ \text{m}^2.

Comprender: La caja tiene área total de 5170,56\ \text{cm}^2, área de sus bases de 1330,56\ \text{cm}^2 y altura de 40\ \text{cm}. La nueva altura será 20\% menor.

Plantear: Se calcula el área lateral inicial. Luego se reduce la altura a 80\%, se reduce proporcionalmente el área lateral y se suma el área de las bases.

Aplicar:

A_L=5170,56-1330,56=3840\ \text{cm}^2

h'=40(0,80)=32\ \text{cm}

A_L'=3840(0,80)=3072\ \text{cm}^2

A_T'=3072+1330,56=4402,56\ \text{cm}^2

Responder: El área total de la nueva caja será de 4402,56\ \text{cm}^2.

Comprender: El cilindro tiene radio 3\ \text{cm} y altura 10\ \text{cm}. El prisma cuadrangular tiene la misma altura y debe utilizar la misma cantidad de cartulina, es decir, la misma área total.

Plantear: Se iguala el área total del cilindro con el área total de un prisma de base cuadrada de lado x.

Aplicar:

Área del cilindro:

A_C=2\pi r^2+2\pi rh

A_C=2\pi(3)^2+2\pi(3)(10)=18\pi+60\pi=78\pi\ \text{cm}^2

Usando \pi\approx3,14:

A_C\approx78(3,14)=244,92\ \text{cm}^2

El área total del prisma cuadrangular es:

A_P=2x^2+4xh=2x^2+40x

Igualando:

2x^2+40x=244,92

2x^2+40x-244,92=0

La solución positiva es:

x=\frac{-40+\sqrt{40^2-4(2)(-244,92)}}{2(2)}\approx5,17\ \text{cm}

Responder: El lado de la base del prisma debe medir aproximadamente 5,17\ \text{cm}.