Teorema de Pitágoras: relación entre áreas de los cuadrados
Respuesta rápida
c^{2}=a^{2}+b^{2}; con a=3, b=4, c=5.
Solución — Página 60
Colección Nanahuatzin. Saberes y pensamiento científico. Libro de Educación Secundaria Grado 3° Ciclo Escolar 2025 - 2026
Explicación del Teorema de Pitágoras
La página presenta una justificación visual del teorema de Pitágoras: en todo triángulo rectángulo, el área del cuadrado construido sobre la hipotenusa es igual a la suma de las áreas de los cuadrados construidos sobre los catetos. Esto se expresa como:
c^{2} = a^{2} + b^{2}
Pasos de la demostración visual
- Se descompone el cuadrado sobre cada cateto en figuras más pequeñas (por ejemplo, cuadrados unitarios).
- Esas figuras se reacomodan dentro del cuadrado sobre la hipotenusa hasta cubrirlo por completo.
- Al cubrirlo exactamente, se comprueba que la suma de las áreas de los catetos es igual al área de la hipotenusa.
Ejemplo numérico
Si el cuadrado sobre un cateto tiene 9 unidades cuadradas y el otro tiene 16 unidades cuadradas, entonces:
c^{2} = 9 + 16 = 25
Por lo tanto, la hipotenusa mide 5 unidades, porque:
\sqrt{c^{2}} = \sqrt{25} \quad \Rightarrow \quad c = 5
Respuesta: Se verifica que c^{2}=a^{2}+b^{2} y en el ejemplo c=5.
Contenido de la página
A continuación, se presentan dos características que están presentes en las explicaciones que respaldan la relación entre el área del cuadrado trazado sobre la hipotenusa y la suma de las áreas de los cuadrados trazados sobre los dos catetos. Esto cumple que c^{2}=a^{2}+b^{2}.
- Se realiza una descomposición de los cuadrados que representan los catetos en otras figuras.
- Las figuras obtenidas se acomodan en el cuadrado que está en la hipotenusa para tapizarlo por completo. Con ello, se verifica que la suma de las áreas de los catetos sea igual al área de la hipotenusa.
Se puede ilustrar este concepto con un ejemplo específico: si en el primer cuadrado trazado sobre un cateto hay 9 unidades cuadradas y en el otro cuadrado, trazado sobre el segundo cateto, 16 unidades cuadradas...
La hipotenusa tendrá 25 cuadrados, ya que:
c^{2}=a^{2}+b^{2} c^{2}=(3)^{2}+(4)^{2} c^{2}=9+16=25
Por tanto, la medida de la hipotenusa es 5, pues:
\sqrt{c^{2}}=\sqrt{25} c=5
Ejemplos resueltos
Si los catetos miden 3 y 4, ¿cuánto mide la hipotenusa?
Aplicamos el teorema de Pitágoras: c^{2}=a^{2}+b^{2}. Sustituyendo: c^{2}=3^{2}+4^{2}=9+16=25. Por lo tanto, c=\sqrt{25}=5.
Fórmulas y ecuaciones
c^{2}=a^{2}+b^{2}
c^{2}=a^{2}+b^{2}
c^{2}=(3)^{2}+(4)^{2}
c^{2}=9+16=25
\sqrt{c^{2}}=\sqrt{25}
c=5
Glosario (3)
- Hipotenusa
- Lado opuesto al ángulo recto en un triángulo rectángulo.
- Cateto
- Cada uno de los dos lados que forman el ángulo recto en un triángulo rectángulo.
- Unidad cuadrada
- Cuadrado de lado 1 unidad, usado para medir áreas.
Preguntas para practicar
¿Por qué se dice que el área del cuadrado sobre la hipotenusa es igual a la suma de las áreas de los cuadrados sobre los catetos?
Porque al descomponer los cuadrados de los catetos en figuras más pequeñas y reacomodarlas dentro del cuadrado de la hipotenusa, este queda completamente cubierto. Esto muestra que las áreas sumadas de los catetos equivalen al área de la hipotenusa.
Temas y conceptos clave
Figuras de la página (1)
Preguntas que la gente también hace
¿Cómo se demuestra el teorema de Pitágoras con áreas?
¿Qué significa que el área del cuadrado sobre la hipotenusa sea igual a la suma de las áreas de los catetos?
¿Cómo se calcula la hipotenusa si los catetos miden 3 y 4?
- • Concepto de área
- • Cuadrado de un número
- • Raíz cuadrada
- • Triángulo rectángulo
📝 Transcripción de la página (texto seleccionable) 1068 caracteres
A continuación, se presentan dos características que están presentes en las explicaciones que respaldan la relación entre el área del cuadrado trazado sobre la hipotenusa y la suma de las áreas de los cuadrados trazados sobre los dos catetos.Esto cumple que c^{2}=a^{2}+b^{2}
- Se realiza una descomposición de los cuadrados que representan los catetos en otras figuras.
2.Las figuras obtenidas se acomodan en el cuadrado que está en la hipotenusa para tapizarlo por completo. Con ello, se verifica que la suma de las áreas de los catetos sea igual al área de la hipotenusa.
Se puede ilustrar este concepto con un ejemplo específico: si en el primer cuadrado trazado sobre un cateto hay 9 unidades cuadradas y en el otro cuadrado,trazado sobre el segundo cateto, 16 unidades cuadradas..
La hipotenusa tendrá 25 cuadrados, ya que:
\begin{aligned}c^{2}&=a^{2}+b^{2}\\c^{2}&=(3)^{2}+(4)^{2}\\c^{2}&=9+16=25\end{aligned}
Por tanto, la medida de la hipotenusa es 5,pues:
\sqrt{c^{2}}=\sqrt{25}
c=5
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