Ejemplo 2: Distancia del punto de penal al larguero con el teorema de Pitágoras
Respuesta rápida
c \approx 11.27\,\text{m}. La distancia del punto de penal al punto central del larguero es de aproximadamente 11.27\,\text{m}.
Solución — Página 63
Colección Nanahuatzin. Saberes y pensamiento científico. Libro de Educación Secundaria Grado 3° Ciclo Escolar 2025 - 2026
Ejemplo 2
La altura de una portería de fútbol reglamentaria es de 2.44\,\text{m} y la distancia desde el punto de penal hasta la línea de meta es de 11\,\text{m}. Se desea conocer la distancia que hay entre el punto de penal y el punto central del larguero.
- Se identifica el triángulo rectángulo: la altura de la portería es perpendicular al piso, por lo que se forma un triángulo rectángulo cuyos cateto son a = 2.44\,\text{m} (altura) y b = 11\,\text{m} (distancia horizontal).
- La distancia buscada es la hipotenusa c, que se obtiene con la fórmula:
c = \sqrt{a^{2} + b^{2}}
- Se sustituyen los valores:
c = \sqrt{(2.44)^{2} + (11)^{2}}
- Se calculan los cuadrados:
c = \sqrt{5.9536 + 121}
- Se suma:
c = \sqrt{126.9536}
- Se obtiene la raíz cuadrada:
c \approx 11.27\,\text{m}
Respuesta: La distancia entre el punto de penal y el punto central del larguero es de 11.27\,\text{m}, aproximadamente.
Nota: En el libro aparece impresa la fórmula c = \sqrt{a^{2} - b^{2}} y la sustitución c = \sqrt{(2.44)^{2} - (11)^{2}}, lo cual es un error de edición, ya que el teorema de Pitágoras establece que la hipotenusa se calcula con la suma de los cuadrados de los catetos: c = \sqrt{a^{2} + b^{2}}. El resultado final mostrado (11.27\,\text{m}) sí corresponde a la suma correcta.
Contenido de la página
Ejemplo 2
La altura de una portería de fútbol reglamentaria es de 2.44\,\text{m} y la distancia desde el punto de penal hasta la línea de meta es de 11\,\text{m}. Se desea conocer la distancia que hay entre el punto de penal y el punto central del larguero.
El ángulo recto se forma con la altura de la portería, que es perpendicular al piso, y por lo tanto se forma un triángulo rectángulo. El problema pregunta cuál es el valor de la hipotenusa, y ésta se obtiene con la fórmula c = \sqrt{a^{2} + b^{2}}.
Sustituyendo valores en la fórmula se tiene:
c = \sqrt{(2.44)^{2} + (11)^{2}}
c = \sqrt{5.9536 + 121}
c = \sqrt{126.9536}
c \approx 11.27
Con base en lo anterior, la distancia entre el punto de penal y el punto central del larguero es de 11.27\,\text{m}, aproximadamente.
Para resolver problemas que involucren el cálculo de una distancia, es importante identificar si hay un triángulo rectángulo involucrado, si se tienen los datos del problema y la medida que se desea obtener. Es necesario verificar si los datos son suficientes, si se requiere hacer otras operaciones o alguna búsqueda complementaria.
El teorema de Pitágoras es un gran legado de nuestros antepasados que nos ha permitido construir herramientas, casas y adquirir nuevos conocimientos. Desde la planificación arquitectónica hasta la navegación en la astronáutica, este teorema se convierte en una brújula confiable para resolver problemas reales. Su capacidad de establecer una conexión directa entre las medidas de los lados de un triángulo rectángulo y la determinación de distancias y proporciones en el espacio tridimensional, lo convierten en una herramienta esencial de matemáticos, científicos e ingenieros. En última instancia, el teorema de Pitágoras es mucho más que un enunciado geométrico; es un puente entre la teoría y la aplicación, entre la geometría y la realidad, que continúa guiándonos hacia soluciones precisas y eficaces en un mundo en constante evolución.
Ejemplos resueltos
La altura de una portería de fútbol reglamentaria es de 2.44\,\text{m} y la distancia desde el punto de penal hasta la línea de meta es de 11\,\text{m}. Se desea conocer la distancia que hay entre el punto de penal y el punto central del larguero.
- Se identifica el triángulo rectángulo: cateto vertical a = 2.44\,\text{m}, cateto horizontal b = 11\,\text{m}.
- Se aplica el teorema de Pitágoras: c = \sqrt{a^{2} + b^{2}}.
- Se sustituyen los valores: c = \sqrt{(2.44)^{2} + (11)^{2}}.
- Se calculan los cuadrados: c = \sqrt{5.9536 + 121}.
- Se suma: c = \sqrt{126.9536}.
- Se obtiene la raíz: c \approx 11.27\,\text{m}.
Respuesta: La distancia es de aproximadamente 11.27\,\text{m}.
Diagrama
graph TD
A[Punto de penal] -->|11 m| B[Base del larguero]
B -->|2.44 m| C[Punto central del larguero]
A -->|c = ?| C
style A fill:#f9f,stroke:#333
style B fill:#bbf,stroke:#333
style C fill:#bbf,stroke:#333
Fórmulas y ecuaciones
c^{2} = a^{2} + b^{2}
c = \sqrt{a^{2} + b^{2}}
c = \sqrt{a^{2} + b^{2}}
c = \sqrt{(2.44)^{2} + (11)^{2}}
c = \sqrt{5.9536 + 121}
c = \sqrt{126.9536}
c \approx 11.27
Glosario (4)
- Hipotenusa
- Lado opuesto al ángulo recto en un triángulo rectángulo; es el lado de mayor longitud.
- Cateto
- Cada uno de los dos lados que forman el ángulo recto en un triángulo rectángulo.
- Teorema de Pitágoras
- En todo triángulo rectángulo, el cuadrado de la hipotenusa es igual a la suma de los cuadrados de los catetos: $c^{2} = a^{2} + b^{2}$.
- Triángulo rectángulo
- Triángulo que tiene un ángulo recto ($90^\circ$).
Preguntas para practicar
¿Por qué es importante identificar si hay un triángulo rectángulo involucrado al resolver problemas de distancias?
Porque el teorema de Pitágoras solo se aplica a triángulos rectángulos. Identificarlo permite saber si se puede usar la relación $c^{2} = a^{2} + b^{2}$ y determinar qué datos se tienen y cuál es la incógnita. Además, ayuda a verificar si la información es suficiente o si se requieren cálculos adicionales.
¿Qué aplicaciones tiene el teorema de Pitágoras en la vida real?
Se usa en arquitectura para calcular alturas y distancias inaccesibles, en navegación y astronáutica para determinar trayectorias, en ingeniería para diseñar estructuras y en deportes para medir distancias en el campo. Es una herramienta fundamental para resolver problemas de espacio y proporciones.
Temas y conceptos clave
Figuras de la página (1)
Preguntas que la gente también hace
¿Cómo se calcula la hipotenusa de un triángulo rectángulo?
¿Cuál es la distancia del punto de penal al centro de la portería?
¿Qué aplicaciones tiene el teorema de Pitágoras en la vida real?
- • Identificar los elementos de un triángulo rectángulo
- • Operaciones con números decimales
- • Cálculo de raíces cuadradas
- • Cuadrado de un número
📝 Transcripción de la página (texto seleccionable) 2061 caracteres
Ejemplo 2
La altura de una portera de futbol reglamentaria es de 2.44 m y la distancia desde el punto de penal hasta la línea de meta es de 11 m. Se desea conocer la distancia que hay entre el punto de penal y el punto central del larguero.
El ángulo recto se forma con la altura de la porteria, que es perpendicular al piso, y por lo tanto se forma un triángulo rectángulo. El problema pregunta cuál es el valor de la hipotenusa, y ésta se obtiene con la fórmula .c=\sqrt{a^{2}-b^{2}}
Sustituyendo valores en la fórmula se tiene:
\begin{aligned}&\Delta c=\sqrt{(2.44)^2-(11)^2}\\ &\\ &\Delta c=\sqrt{5.9536+121}\\ &\\ &\Delta c=\sqrt{126.9536}\\ &\\ &\Delta c\approx11.27\\ \end{aligned}
Con base en lo anterior, la distancia entre el punto de penal y el punto central del larguero es de 11.27 m, aproximadamente.
Para resolver problemas que involucren el cálculo de una distancia, es importante identifcar si hay un triángulo rectángulo involucrado, si se tienen los datos del problema y la medida que se desea obtener. Es necesario verificar si los datos son suf cientes, si se requiere hacer otras operaciones o alguna búsqueda complementaria.
福
El teorema de Pitágoras es un gran legado de nuestros antepasados que nos ha permitido construir herramientas, casas y adquirir nuevos conocimientos. Desde la planificación arquitectónica hasta la navegación en la astronáutica, este teorema se convierte en una brújula confable para resolver problemas reales. Su capacidad de establecer una conexión directa entre las medidas de los lados de un triángulo rectángulo y la determinación de distancias y proporciones en el espacio tridimensional, lo convierten en una herramienta esencial de matemáticos, científi cos e ingenieros. En última instancia, el teorema de Pitágoras es mucho más que un enunciado geométrico; es un puente entre la teoria y la aplicación, entre la geometría y la realidad, que continúa guiándonos hacia soluciones precisas y eficaces en un mundo en constante evolución.
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