Libro de Saberes y Pensamiento Cientifico 3 EGB

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Formulación analítica del teorema de Pitágoras

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Respuesta rápida

$c=\sqrt{a^{2}+b^{2}}$ ; $a=\sqrt{c^{2}-b^{2}}$ ; $b=\sqrt{c^{2}-a^{2}}$ . Geométricamente: área del cuadrado sobre la hipotenusa = suma de áreas de los cuadrados sobre los catetos.

📚 theory matematica ⭐⭐ Dificultad 2/5 ⏱ 6 min lectura

Solución — Página 58

Colección Nanahuatzin. Saberes y pensamiento científico. Libro de Educación Secundaria Grado 3° Ciclo Escolar 2025 - 2026

Contexto teórico

El teorema de Pitágoras establece que en todo triángulo rectángulo, el cuadrado de la hipotenusa es igual a la suma de los cuadrados de los catetos:

$c^{2}=a^{2}+b^{2}$

Paso 1. Despeje de la hipotenusa $c$

Partimos de la igualdad y aplicamos raíz cuadrada en ambos lados:

$c^{2}=a^{2}+b^{2}$

$\sqrt{c^{2}}=\sqrt{a^{2}+b^{2}}$

Como $\sqrt{c^{2}}=c$ (longitud positiva), se obtiene:

$c=\sqrt{a^{2}+b^{2}}$

Paso 2. Despeje del cateto $a$

Restamos $b^{2}$ en ambos miembros:

$c^{2}-b^{2}=a^{2}$

Aplicamos raíz cuadrada:

$\sqrt{c^{2}-b^{2}}=\sqrt{a^{2}}$

$a=\sqrt{c^{2}-b^{2}}$

Paso 3. Despeje del cateto $b$

De forma análoga, restando $a^{2}$ :

$c^{2}-a^{2}=b^{2}$

$\sqrt{c^{2}-a^{2}}=\sqrt{b^{2}}$

$b=\sqrt{c^{2}-a^{2}}$

Paso 4. Interpretación geométrica

En su concepción original, el teorema se expresa con áreas: si sobre cada lado del triángulo rectángulo se construye un cuadrado, el área del cuadrado sobre la hipotenusa ( $c^{2}$ ) es igual a la suma de las áreas de los cuadrados sobre los catetos ( $a^{2}+b^{2}$ ).

Esto permite calcular distancias inaccesibles (por ejemplo, la altura de un edificio o el ancho de un río) midiendo solo dos longitudes accesibles.

Respuesta: Las tres expresiones analíticas del teorema son $c=\sqrt{a^{2}+b^{2}}$ , $a=\sqrt{c^{2}-b^{2}}$ y $b=\sqrt{c^{2}-a^{2}}$ , y geométricamente $c^{2}=a^{2}+b^{2}$ equivale a la igualdad de áreas de los cuadrados construidos sobre los lados.

Contenido de la página

Tomando en cuenta la formulación analítica del teorema, si se conocen los valores de los catetos $a$ y $b$ se puede obtener el valor de la hipotenusa $c$ tras aplicar las raíces a ambos lados de la igualdad, esto es:

$c^{2}=a^{2}+b^{2}$

$\sqrt{c^{2}}=\sqrt{a^{2}+b^{2}}$

$c=\sqrt{a^{2}+b^{2}}$

También se puede obtener el valor de uno de los catetos, como se muestra enseguida:

$c^{2}=a^{2}+b^{2} \qquad c^{2}=a^{2}+b^{2}$

$c^{2}-b^{2}=a^{2} \qquad c^{2}-a^{2}=b^{2}$

$\sqrt{c^{2}-b^{2}}=\sqrt{a^{2}} \qquad \sqrt{c^{2}-a^{2}}=\sqrt{b^{2}}$

$\sqrt{c^{2}-b^{2}}=a \qquad \sqrt{c^{2}-a^{2}}=b$

$a=\sqrt{c^{2}-b^{2}} \qquad b=\sqrt{c^{2}-a^{2}}$

Mediante las expresiones analíticas antes mostradas, el teorema posibilita el manejo de datos numéricos, tales como medidas conocidas de objetos o distancias entre ellos. Además, permite el cálculo de una medida desconocida, que podría resultar inaccesible debido a obstáculos que impidan medirla directamente.

En su concepción original, el teorema de Pitágoras adopta una formulación geométrica. Mediante la construcción de cuadrados sobre cada uno de los lados del triángulo rectángulo, tal como se ilustra en la imagen, se establece que el área del cuadrado trazado sobre la hipotenusa es equivalente a la suma de las áreas de los cuadrados erigidos sobre los catetos del triángulo.

Diagrama

graph TD
  A[Teorema de Pitágoras] --> B[Formulación analítica]
  A --> C[Formulación geométrica]
  B --> D[c = raíz(a² + b²)]
  B --> E[a = raíz(c² - b²)]
  B --> F[b = raíz(c² - a²)]
  C --> G[Área cuadrado sobre hipotenusa]
  C --> H[Área cuadrados sobre catetos]
  G --> I[c² = a² + b²]
  H --> I

Fórmulas y ecuaciones

$c^{2}=a^{2}+b^{2}$

c= $\sqrt{a^{2}+b^{2}}$

a= $\sqrt{c^{2}-b^{2}}$

b= $\sqrt{c^{2}-a^{2}}$

$c^{2}=a^{2}+b^{2}$

c= $\sqrt{a^{2}+b^{2}}$

a= $\sqrt{c^{2}-b^{2}}$

b= $\sqrt{c^{2}-a^{2}}$

Glosario (4)

Hipotenusa: Lado de mayor longitud de un triángulo rectángulo, opuesto al ángulo recto.
Cateto: Cada uno de los dos lados que forman el ángulo recto en un triángulo rectángulo.
Formulación analítica: Expresión algebraica del teorema que permite calcular un lado a partir de los otros dos.
Triángulo rectángulo: Triángulo que tiene un ángulo interior de 90°.

Preguntas para practicar

¿Por qué el teorema de Pitágoras permite calcular distancias inaccesibles?

Porque relaciona los tres lados del triángulo rectángulo mediante una ecuación: si se conocen dos lados, se puede despejar el tercero. Así, midiendo dos longitudes accesibles (por ejemplo, una base y una altura parcial) se obtiene la distancia desconocida sin necesidad de medirla directamente.

Temas y conceptos clave

Teorema de PitágorasFormulación analíticaDespeje de la hipotenusaDespeje de los catetosInterpretación geométricaHipotenusaCatetoTriángulo rectánguloRaíz cuadradaÁrea del cuadrado

¿Te fue útil esta página?

Figuras de la página (1)

Triángulo rectángulo con cuadrados construidos sobre cada lado: cuadrado de área a² sobre un cateto, cuadrado de área b² sobre el otro cateto y cuadrado de área c² sobre la hipotenusa. Se marca el ángulo recto y las etiquetas a, b, c. — Figura 1 image

Preguntas que la gente también hace

¿Cómo se despeja la hipotenusa en el teorema de Pitágoras?

Consulta la solución completa arriba o explora el libro entero para temas relacionados.

¿Cómo se calcula un cateto si se conoce la hipotenusa y el otro cateto?

Consulta la solución completa arriba o explora el libro entero para temas relacionados.

¿Qué significa geométricamente el teorema de Pitágoras?

Consulta la solución completa arriba o explora el libro entero para temas relacionados.

📌 Antes de leer esto

• Operaciones básicas con números reales
• Potenciación y radicación
• Despeje de variables en ecuaciones
• Elementos de un triángulo rectángulo (catetos e hipotenusa)

Siguiente tema sugerido

Aplicaciones del teorema de Pitágoras en la resolución de problemas de distancia y altura

📝 Transcripción de la página (texto seleccionable) 1409 caracteres

Tomando en cuenta la formulación analitica del teorema, si se conocen los valores de los catetos a y b se puede obtener el valor de la hipotenusa c tras aplicar las raices a ambos lados de la igualdad, esto es:

$\begin{aligned}c^{2}&=a^{2}+b^{2}\\\sqrt{c^{2}}&=\sqrt{a^{2}+b^{2}}\\c&=\sqrt{a^{2}+b^{2}}\end{aligned}$

También se puede obtener el valor de uno de los catetos, como se muestra enseguida:

$\begin{align*}c^{2}&=a^{2}+b^{2}&c^{2}&=a^{2}+b^{2}\\c^{2}-b^{2}&=a^{2}&c^{2}-a^{2}&=b^{2}\\\sqrt{c^{2}-b^{2}}&=\sqrt{a^{2}}&\sqrt{c^{2}-a^{2}}&=\sqrt{b^{2}}\\\sqrt{c^{2}-b^{2}}&=a&\sqrt{c^{2}-a^{2}}&=b\\a&=\sqrt{c^{2}-b^{2}}&b&=\sqrt{c^{2}-a^{2}}\end{align*}$

Mediante las expresiones analiticas antes mostradas, el teorema posibilita el manejo de datos numericos, tales como medidas conocidas de objetos o distancias entre ellos. Además, permite el cálculo de una medida desconocida, que podria resultar inaccesible debido a obstáculos que impidan medirla directamente.

求

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