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El teorema de Pitágoras

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Respuesta rápida

Triángulo con ángulo de $90^\circ$ ; catetos $a$ , $b$ ; hipotenusa $c$ .
$c^{2}=a^{2}+b^{2}$ .
$50\,\text{m}$ .
$13\,\text{m}$ .
Solo aplica si hay ángulo recto.

📚 theory matematica ⭐⭐ Dificultad 2/5 ⏱ 8 min lectura

Solución — Página 57

Colección Nanahuatzin. Saberes y pensamiento científico. Libro de Educación Secundaria Grado 3° Ciclo Escolar 2025 - 2026

Ejercicio 1

Explica con tus palabras qué es un triángulo rectángulo y cuáles son sus elementos.

Un triángulo rectángulo es un triángulo que tiene un ángulo interno de $90^\circ$ , llamado ángulo recto.
Los dos lados que forman ese ángulo recto se llaman catetos; en la figura se denotan como $a$ y $b$ .
El lado opuesto al ángulo recto, que es el más largo, se llama hipotenusa y se denota como $c$ .

Respuesta

Es el triángulo con un ángulo de $90^\circ$ ; sus lados que forman el ángulo recto son los catetos $a$ y $b$ , y el lado opuesto es la hipotenusa $c$ .

Ejercicio 2

Enuncia el teorema de Pitágoras y exprésalo algebraicamente.

El teorema dice: en todo triángulo rectángulo, el cuadrado de la longitud de la hipotenusa es igual a la suma de los cuadrados de las longitudes de los catetos.
Si los catetos miden $a$ y $b$ , y la hipotenusa mide $c$ , se escribe:

$c^{2}=a^{2}+b^{2}$

Respuesta

$c^{2}=a^{2}+b^{2}$ , donde $c$ es la hipotenusa y $a$ , $b$ son los catetos.

Ejercicio 3

En la imagen del globo aerostático se forma un triángulo rectángulo. Si la altura vertical es de $30\,\text{m}$ y la distancia horizontal entre la base del globo y el punto de anclaje es de $40\,\text{m}$ , ¿cuál es la longitud del cable tensado (hipotenusa)?

Identificamos los datos: cateto vertical $a=30\,\text{m}$ , cateto horizontal $b=40\,\text{m}$ , hipotenusa $c=?$ .
Aplicamos el teorema de Pitágoras: $c^{2}=a^{2}+b^{2}$ .
Sustituimos los valores: $c^{2}=30^{2}+40^{2}$ .
Calculamos las potencias: $c^{2}=900+1600$ .
Sumamos: $c^{2}=2500$ .
Extraemos raíz cuadrada: $c=\sqrt{2500}=50$ .

Respuesta

El cable mide $50\,\text{m}$ .

Ejercicio 4

En la fotografía de la calle, se forma un triángulo rectángulo entre los dos pilares y el tendido de banderines. Si la separación entre las bases de los pilares es de $12\,\text{m}$ y la altura de uno de los pilares es de $5\,\text{m}$ , ¿cuál es la longitud del tendido diagonal?

Datos: cateto horizontal $a=12\,\text{m}$ , cateto vertical $b=5\,\text{m}$ , hipotenusa $c=?$ .
Planteamos: $c^{2}=a^{2}+b^{2}$ .
Sustituimos: $c^{2}=12^{2}+5^{2}$ .
Calculamos: $c^{2}=144+25$ .
Sumamos: $c^{2}=169$ .
Raíz cuadrada: $c=\sqrt{169}=13$ .

Respuesta

El tendido diagonal mide $13\,\text{m}$ .

Ejercicio 5

¿Por qué el teorema de Pitágoras solo se aplica a triángulos rectángulos?

Porque la relación $c^{2}=a^{2}+b^{2}$ se deduce de la propiedad geométrica del ángulo recto.
En triángulos que no tienen un ángulo de $90^\circ$ , la suma de los cuadrados de dos lados no es igual al cuadrado del tercero.
Por ejemplo, en un triángulo equilátero de lado $1$ , se cumple $1^{2}+1^{2}=2$ , pero el tercer lado mide $1$ , y $1^{2}=1\ne 2$ .

Respuesta

Porque la igualdad $c^{2}=a^{2}+b^{2}$ es válida únicamente cuando el ángulo entre $a$ y $b$ es recto ( $90^\circ$ ).

Contenido de la página

El teorema de Pitágoras

El teorema de Pitágoras es un concepto fundamental que se relaciona estrechamente con los triángulos rectángulos. Un triángulo rectángulo se caracteriza por tener un ángulo de 90°, denominado ángulo recto, lo que justifica su nombre. Los dos lados que forman al ángulo recto se llaman catetos, y el lado opuesto al ángulo recto se llama hipotenusa.

![Figura de triángulo rectángulo con catetos a y b, hipotenusa c y ángulo recto de $90°](triangulo_rectangulo.png)$

El teorema de Pitágoras se expresa de la siguiente manera: en cualquier triángulo rectángulo, el cuadrado de la longitud de la hipotenusa es igual a la suma de los cuadrados de las longitudes de los catetos.

Si denotamos los catetos con las letras $a$ y $b$ , la hipotenusa con la letra $c$ , se puede expresar el teorema algebraicamente como:

$c^{2}=a^{2}+b^{2}$

Esta ecuación constituye la formulación analítica del teorema de Pitágoras, también conocida como fórmula pitagórica. Dicha fórmula es de suma importancia para resolver problemas que involucran triángulos rectángulos, especialmente cuando se conocen dos de las medidas de sus lados. En la siguiente imagen puede emplearse el teorema de Pitágoras para calcular la distancia que hay entre el punto más alto de la figura de la izquierda y la base de una figura de la derecha, si se conocen la altura de la primera y la separación entre las bases.

![Fotografía de una calle con pilares y banderines que forman un triángulo $rectángulo](calle_triangulo.png)$

Ejemplos resueltos

Datos: $a=30\,\text{m}$ , $b=40\,\text{m}$ , $c=?$ .

Aplicamos $c^{2}=a^{2}+b^{2}$ :

$c^{2}=30^{2}+40^{2}=900+1600=2500$

$c=\sqrt{2500}=50\,\text{m}$ .

Respuesta: $50\,\text{m}$ .

Datos: $a=12\,\text{m}$ , $b=5\,\text{m}$ , $c=?$ .

$c^{2}=12^{2}+5^{2}=144+25=169$

$c=\sqrt{169}=13\,\text{m}$ .

Respuesta: $13\,\text{m}$ .

Tabla

Elemento	Descripción	Notación
Ángulo recto	Ángulo de 90°	—
Cateto	Lado que forma el ángulo recto	$a$ , $b$
Hipotenusa	Lado opuesto al ángulo recto	$c$
Teorema	Relación entre lados	$c^{2}=a^{2}+b^{2}$

Diagrama

graph TD
  A[Triángulo rectángulo] --> B[Ángulo recto 90°]
  A --> C[Catetos a y b]
  A --> D[Hipotenusa c]
  C --> E[Teorema de Pitágoras]
  D --> E
  E --> F[c² = a² + b²]

Fórmulas y ecuaciones

$c^{2}=a^{2}+b^{2}$

Glosario (5)

Ángulo recto: Ángulo que mide exactamente 90°.
Cateto: Cada uno de los dos lados que forman el ángulo recto en un triángulo rectángulo.
Hipotenusa: Lado opuesto al ángulo recto en un triángulo rectángulo; es el lado de mayor longitud.
Teorema de Pitágoras: En todo triángulo rectángulo, el cuadrado de la hipotenusa es igual a la suma de los cuadrados de los catetos: $c^{2}=a^{2}+b^{2}$.
Fórmula pitagórica: Expresión algebraica $c^{2}=a^{2}+b^{2}$ que resume el teorema de Pitágoras.

Preguntas para practicar

¿Cómo se calcula la hipotenusa si conozco los catetos?

Se eleva al cuadrado cada cateto, se suman los resultados y se extrae la raíz cuadrada de esa suma. La fórmula es $c=\sqrt{a^{2}+b^{2}}$. Por ejemplo, si $a=3$ y $b=4$, entonces $c=\sqrt{9+16}=\sqrt{25}=5$.

¿Para qué sirve el teorema de Pitágoras en la vida cotidiana?

Sirve para calcular distancias o longitudes que no se pueden medir directamente, como la altura de un edificio, la diagonal de una cancha o la longitud de un cable tensado. También se usa en construcción, navegación y diseño. Es una herramienta básica para resolver problemas de triángulos rectángulos.

Temas y conceptos clave

Teorema de PitágorasTriángulos rectángulosCatetos e hipotenusaFórmula pitagóricaÁngulo recto de 90°CatetoHipotenusac² = a² + b²Triángulo rectángulo

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Figuras de la página (1)

Triángulo rectángulo con catetos etiquetados como $a$ y $b$, hipotenusa $c$ y ángulo recto de 90°. — Figura 1 image

Preguntas que la gente también hace

¿Cómo se calcula la hipotenusa si conozco los catetos?

Consulta la solución completa arriba o explora el libro entero para temas relacionados.

¿Qué es un triángulo rectángulo y cuáles son sus elementos?

Consulta la solución completa arriba o explora el libro entero para temas relacionados.

¿Para qué sirve el teorema de Pitágoras en la vida cotidiana?

Consulta la solución completa arriba o explora el libro entero para temas relacionados.

📌 Antes de leer esto

• Concepto de triángulo y sus elementos
• Ángulos y medida en grados
• Potencias y raíz cuadrada
• Operaciones básicas con números naturales

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Aplicaciones del teorema de Pitágoras para calcular distancias y alturas

📝 Transcripción de la página (texto seleccionable) 1343 caracteres

El teorema de Pitágoras

Si denotamos los catetos con las letras a y $b,$ la hipotenusa con la letra c,se puede expresar el teorema algebraicamente como:

$c^{2}=a^{2}+b^{2}$

Esta ecuación constituye la formulación analitica del teorema de Pitágoras, también conocida como formula pitagórica. Dicha fórmula es de suma importancia para resolver problemas que involucran triángulos rectángulos, especialmente cuando se conocen dos de las medidas de sus lados. En la siguiente imagen puede emplearse el teorema de Pitágoras para calcular la distancia que hay entre el punto más alto de la figura de la izquierda y la base de una figura de la derecha, si se conocen la altura de la primera y la separación entre las bases.

や

Cateto a

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