Libro de Saberes y Pensamiento Cientifico 3 EGB

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Teorema de Pitágoras, su inverso y ternas pitagóricas

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6, 8, 10 y 5, 12, 13 sí forman triángulos rectángulos. La terna 3, 4, 5 también cumple $c^{2}=a^{2}+b^{2}$ .

📚 theory matematica ⭐⭐ Dificultad 2/5 ⏱ 8 min lectura

Solución — Página 61

Colección Nanahuatzin. Saberes y pensamiento científico. Libro de Educación Secundaria Grado 3° Ciclo Escolar 2025 - 2026

Ejercicio 1

Verificar si los números 6, 8 y 10 forman un triángulo rectángulo usando el inverso del teorema de Pitágoras.

Identificamos el lado mayor como posible hipotenusa: $c = 10$ , $a = 6$ , $b = 8$ .
Sustituimos en la fórmula $c^{2} = a^{2} + b^{2}$ : $10^{2} = 6^{2} + 8^{2}$
Calculamos las potencias: $100 = 36 + 64$
Sumamos: $100 = 100$

Respuesta

Sí, 6, 8 y 10 forman un triángulo rectángulo porque se cumple la igualdad $10^{2} = 6^{2} + 8^{2}$ .

Ejercicio 2

Verificar si los números 5, 12 y 13 forman un triángulo rectángulo.

Identificamos $c = 13$ , $a = 5$ , $b = 12$ .
Sustituimos en $c^{2} = a^{2} + b^{2}$ : $13^{2} = 5^{2} + 12^{2}$
Calculamos: $169 = 25 + 144$
Sumamos: $169 = 169$

Respuesta

Sí, 5, 12 y 13 forman un triángulo rectángulo.

Ejercicio 3

Comprobar la igualdad pitagórica para el triángulo de lados 3, 4 y 5.

Tomamos $c = 5$ , $a = 3$ , $b = 4$ .
Sustituimos: $5^{2} = 3^{2} + 4^{2}$
Calculamos: $25 = 9 + 16$
Sumamos: $25 = 25$

Respuesta

La terna 3, 4, 5 cumple el teorema de Pitágoras y forma un triángulo rectángulo.

Ejercicio 4

Explicar por qué la cuerda de 12 nudos dividida en 3, 4 y 5 partes forma un triángulo rectángulo.

La cuerda se divide en segmentos de 3, 4 y 5 unidades.
Al unir los extremos se forma un triángulo de lados 3, 4 y 5.
Verificamos el inverso del teorema: $5^{2} = 3^{2} + 4^{2} \Rightarrow 25 = 9 + 16 \Rightarrow 25 = 25$

Respuesta

Porque los lados 3, 4 y 5 satisfacen la relación pitagórica, por lo que el ángulo opuesto al lado 5 es recto.

Contenido de la página

En el libro Diálogos, escrito por Platón, aparece una justificación del teorema de Pitágoras elaborada por Sócrates, en la que se dividen los cuadrados en triángulos congruentes, como se muestra en la imagen. Esta justificación se usa en el caso particular de un triángulo rectángulo isósceles (además de tener un ángulo recto, sus catetos son iguales).

En la ilustración del teorema de Pitágoras en Egipto aparece la frase: "La escuadra de los arquitectos de los templos". Es una cuerda que mide 12 unidades con nudos que la dividen en 3, 4 y 5 partes, como se muestra en la imagen:

Si se ponen palos en cada nudo y se unen, se obtiene un triángulo rectángulo, como el de la imagen, conocido como triángulo pitagórico.

Lo anterior se conoce como el inverso del teorema de Pitágoras; lo cual quiere decir que es posible encontrar tres números con los que se obtiene un triángulo rectángulo. Si se sustituyen los valores correspondientes en la ecuación $c^{2} = a^{2} + b^{2}$ , se obtiene una igualdad $5^{2} = 3^{2} + 4^{2}$ ; $25 = 9 + 16$ ; $25 = 25$ . Otros ejemplos de ternas con las que se puede formar un triángulo rectángulo son 6, 8, 10 y 5, 12, 13.

El teorema de Pitágoras dice: en todo triángulo rectángulo existe una relación entre sus lados que involucra el cuadrado de sus medidas. El inverso del teorema dice: si hay tres números y éstos satisfacen la fórmula $c^{2} = a^{2} + b^{2}$ , entonces se forma un triángulo rectángulo.

Ejemplos resueltos

Comprobar que 3, 4 y 5 forman un triángulo rectángulo.

Se identifica $c=5$ , $a=3$ , $b=4$ . Se sustituye en $c^{2}=a^{2}+b^{2}$ : $5^{2}=3^{2}+4^{2}$ . Se calcula: $25=9+16$ . Se suma: $25=25$ . Como la igualdad se cumple, los números forman un triángulo rectángulo.

Verificar si 6, 8 y 10 forman un triángulo rectángulo.

Se toma $c=10$ , $a=6$ , $b=8$ . Se sustituye: $10^{2}=6^{2}+8^{2}$ . Se calcula: $100=36+64$ . Se suma: $100=100$ . La igualdad se cumple, por lo que sí forman un triángulo rectángulo.

Verificar si 5, 12 y 13 forman un triángulo rectángulo.

Se toma $c=13$ , $a=5$ , $b=12$ . Se sustituye: $13^{2}=5^{2}+12^{2}$ . Se calcula: $169=25+144$ . Se suma: $169=169$ . La igualdad se cumple, por lo que sí forman un triángulo rectángulo.

Tabla

Terna	$a$	$b$	$c$	Verificación
3, 4, 5	3	4	5	$5^{2}=3^{2}+4^{2} \Rightarrow 25=25$
6, 8, 10	6	8	10	$10^{2}=6^{2}+8^{2} \Rightarrow 100=100$
5, 12, 13	5	12	13	$13^{2}=5^{2}+12^{2} \Rightarrow 169=169$

Diagrama

graph TD
  A[Teorema de Pitágoras] --> B[En todo triángulo rectángulo]
  B --> C[c² = a² + b²]
  A --> D[Inverso]
  D --> E[Si c² = a² + b²]
  E --> F[Se forma un triángulo rectángulo]
  F --> G[Ternas pitagóricas]
  G --> H[3, 4, 5]
  G --> I[6, 8, 10]
  G --> J[5, 12, 13]

Fórmulas y ecuaciones

$c^{2}$ = $a^{2}$ + $b^{2}$

$5^{2}$ = $3^{2}$ + $4^{2}$

25 = 9 + 16

25 = 25

$10^{2}$ = $6^{2}$ + $8^{2}$

$13^{2}$ = $5^{2}$ + $12^{2}$

Glosario (6)

Teorema de Pitágoras: En todo triángulo rectángulo, el cuadrado de la hipotenusa es igual a la suma de los cuadrados de los catetos: $c^{2}=a^{2}+b^{2}$.
Inverso del teorema de Pitágoras: Si tres números satisfacen la relación $c^{2}=a^{2}+b^{2}$, entonces forman un triángulo rectángulo.
Terna pitagórica: Conjunto de tres números enteros que cumplen la relación pitagórica, como 3, 4, 5 o 5, 12, 13.
Triángulo pitagórico: Triángulo rectángulo cuyos lados son una terna pitagórica.
Hipotenusa: Lado opuesto al ángulo recto en un triángulo rectángulo; es el lado de mayor longitud.
Cateto: Cada uno de los dos lados que forman el ángulo recto en un triángulo rectángulo.

Preguntas para practicar

¿Por qué la justificación de Sócrates se aplica solo a triángulos rectángulos isósceles?

Porque en ese caso los catetos son iguales y los cuadrados construidos sobre ellos pueden dividirse en triángulos congruentes de forma simétrica, lo que permite demostrar la igualdad de áreas de manera visual.

¿Qué diferencia hay entre el teorema de Pitágoras y su inverso?

El teorema afirma que en todo triángulo rectángulo se cumple $c^{2}=a^{2}+b^{2}$. El inverso afirma que si tres números cumplen esa igualdad, entonces forman un triángulo rectángulo.

Temas y conceptos clave

Teorema de PitágorasInverso del teorema de PitágorasTernas pitagóricasJustificación histórica del teoremaHipotenusaCatetosTriángulo rectánguloTriángulo pitagóricoTerna pitagóricaCuerda de 12 nudos

Fuentes y referencias

Platón, Diálogos (Menón)

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Figuras de la página (3)

Figura geométrica con cuadrados y triángulos de colores que ilustra la justificación del teorema de Pitágoras atribuida a Sócrates. — Figura 1 image

Cuerda con nudos dividida en segmentos de 5, 4 y 3 unidades. — Figura 2 image

Triángulo rectángulo azul con catetos de 3 y 4 unidades e hipotenusa de 5 unidades. — Figura 3 image

Preguntas que la gente también hace

¿Qué es el inverso del teorema de Pitágoras y para qué sirve?

Consulta la solución completa arriba o explora el libro entero para temas relacionados.

¿Cómo saber si tres números forman un triángulo rectángulo?

Consulta la solución completa arriba o explora el libro entero para temas relacionados.

¿Cuáles son ejemplos de ternas pitagóricas?

Consulta la solución completa arriba o explora el libro entero para temas relacionados.

📌 Antes de leer esto

• Cuadrado de un número
• Suma y resta de números naturales
• Elementos de un triángulo rectángulo: catetos e hipotenusa

Siguiente tema sugerido

Aplicaciones del teorema de Pitágoras para calcular distancias y alturas

📝 Transcripción de la página (texto seleccionable) 1551 caracteres

En el libro Didlogos, escrito por Platón, aparece una justifi cación del teorema de Pitágoras elaborada por Sócrates, en la que se dividen los cuadrados en triángulos congruentes, como se muestra en la imagen. Esta justificación se usa en el caso particular de un triángulo rectángulo isósceles (además de tener un ángulo recto, sus catetos son iguales).

Si se ponen palos en cada nudo y se unen, se obtiene un triángulo rectángulo, como el de la imagen, conocido como triángulo pitagórico.

El teorema de Pitágoras dice: en todo triángulo rectángulo existe una relación entre sus lados que involucra el cuadrado de sus medidas.El inverso del teorema dice: si hay tres números y éstos satisfacen la fórmula $c^{2}=a^{2}+b^{2}$ ,entonces se forma un triángulo rectángulo.

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Lo anterior se conoce como el inverso del teorema de Pitágoras; lo cual quiere decir que es posible encontrar tres números con los que se obtiene un triángulo rectángulo. Si se sustituyen los valores correspondientes en la ecuación $c^{2}=a^{2}+b^{2}$ , se obtiene una igualdad $\bar{5}^{2}=3^{2}+4^{2};25=9+16;25=25$ i. Otros ejemplos de ternas con las que se puede formar un triángulo rectángulo son 6, 8, 10y5, 12, 13.

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