Propiedades de los círculos

Esta página es teórica: no contiene ejercicios numéricos, sino la exposición de tres propiedades geométricas del círculo y la circunferencia. A continuación se explica y demuestra cada una.

Propiedad 1. El diámetro divide en dos partes iguales

En la figura superior, el segmento AB es un diámetro de la circunferencia c con centro C. Todo diámetro pasa por el centro, por lo que AC = CB = r.

1. El diámetro mide d = 2r.
2. Los arcos determinados se llaman semicircunferencias: arco AB (superior) y arco AB (inferior).
3. Las regiones del círculo limitadas por una semicircunferencia y el diámetro se llaman semicírculos.

Respuesta: cualquier diámetro divide a la circunferencia y al círculo en dos partes iguales (semicircunferencias y semicírculos).

Propiedad 2. El diámetro es la mayor cuerda

En la figura izquierda se comparan cuerdas: DE, JE, FG, HI frente al diámetro AB.

1. Una cuerda es un segmento con extremos en la circunferencia.
2. La distancia de una cuerda al centro es \sqrt{r^{2} - \left(\frac{\text{cuerda}}{2}\right)^{2}}.
3. Esa distancia es mínima (cero) cuando la cuerda pasa por el centro, es decir, cuando es diámetro.
4. Por tanto, la cuerda de longitud máxima es el diámetro: AB > DE,\; JE,\; FG,\; HI.

Respuesta: AB es mayor que cualquier otra cuerda porque es el diámetro.

Propiedad 3. Tangente perpendicular al radio

En la figura inferior derecha, las rectas a, b y d son tangentes en A, B y D respectivamente.

1. El radio CA une el centro con el punto de tangencia A.
2. La recta a toca la circunferencia solo en A.
3. Se cumple \alpha = \angle(CA, a) = 90^\circ.
4. Análogamente \beta = \angle(CB, b) = 90^\circ y \gamma = \angle(CD, d) = 90^\circ.

Respuesta: toda recta tangente es perpendicular al radio trazado en el punto de tangencia.