Ángulo central y ángulo inscrito en la circunferencia
Respuesta rápida
\angle BCA = \widehat{AB} = 80.5^\circ; \angle XYZ = 32.5^\circ.
Solución — Página 47
Colección Ximhai. Saberes y pensamiento científico. Libro de Educación Telesecundaria Grado 1° Ciclo Escolar 2025 - 2026
Ejemplo 1: Ángulo central y arco
Un arco mide lo mismo que su ángulo central. El ángulo \angle BCA tiene su vértice en el centro C y sus extremos coinciden con los extremos del arco \widehat{AB}.
- Se identifica el ángulo central: \angle BCA = \alpha = 80.5^\circ.
- Por la propiedad, el arco correspondiente tiene igual medida angular: \widehat{AB} = \angle BCA.
- Se concluye la igualdad: \angle BCA = \widehat{AB} = 80.5^\circ.
Respuesta: \angle BCA = \widehat{AB} = 80.5^\circ.
Ejemplo 2: Ángulo inscrito
El ángulo inscrito mide la mitad del arco que abarca. El ángulo \angle XYZ tiene su vértice Y sobre la circunferencia y sus lados son cuerdas.
- Se identifica el arco que abarca el ángulo inscrito: \widehat{XZ} = 65^\circ.
- Se aplica la fórmula del ángulo inscrito: \angle XYZ = \dfrac{\widehat{XZ}}{2}.
- Se sustituye el valor del arco: \angle XYZ = \dfrac{65^\circ}{2}.
- Se realiza la división: \angle XYZ = 32.5^\circ.
Respuesta: \angle XYZ = 32.5^\circ.
Conceptos teóricos
- Ángulo central: vértice en el centro de la circunferencia; su medida es igual a la del arco que abarca.
- Ángulo inscrito: vértice en un punto de la circunferencia y lados que son cuerdas; su medida es la mitad del arco que abarca.
- Arco: porción de circunferencia entre dos puntos; se denota \widehat{AB}.
Estas propiedades permiten modelar situaciones reales como radares de navegación, diseño gráfico y piezas mecánicas.
Contenido de la página
Ángulo central
Un arco mide lo mismo que su ángulo central. Así, a cualquier arco se le asigna la misma medida angular que al ángulo que tiene su vértice en el centro de la circunferencia y sus extremos coinciden con los extremos del arco.
El ángulo BCA se denomina ángulo central y se indica como \angle BCA, mientras que el arco AB es el segmento de circunferencia que abarca \angle BCA, y se denota como \widehat{AB}. Por tanto, \angle BCA = \widehat{AB} = 80.5^\circ.
Ángulo inscrito
El ángulo inscrito mide la mitad que el arco que abarca. Este ángulo tiene su vértice en un punto de la circunferencia y sus lados son cuerdas; para conocer la medida de su arco se debe conocer o deducir la medida del ángulo central.
En la imagen de abajo, el ángulo XYZ es un ángulo inscrito y el segmento de circunferencia XZ es el arco que abarca el ángulo.
Como \angle XYZ = \dfrac{\widehat{XZ}}{2}, si \widehat{XZ} = 65^\circ, entonces \angle XYZ = \dfrac{65^\circ}{2}, es decir, \angle XYZ = 32.5^\circ.
Aplicación
Conocer las propiedades del círculo permite trabajar con mayor precisión y rapidez en la resolución de problemas que se modelan con circunferencias o círculos, por ejemplo, los radares de navegación.
El estudio del círculo y sus partes como la circunferencia, el semicírculo, el sector circular, el segmento circular, la zona circular, así como los elementos arco, ángulo inscrito y ángulo central son fundamentales en la geometría. Cada uno de estos elementos tiene una definición precisa y se relaciona con las demás de manera específica. El círculo es una figura geométrica básica y se encuentra presente en muchos aspectos de la vida cotidiana, desde la medición de áreas y perímetros para la construcción y la ingeniería, hasta la creación de diseños en las artes gráficas y la producción de piezas mecánicas en la industria. Comprender los conceptos relacionados con el círculo y sus partes es esencial para la resolución de problemas y la aplicación de la geometría en diversos campos.
Ejemplos resueltos
El ángulo central \angle BCA mide 80.5^\circ. ¿Cuánto mide el arco \widehat{AB}?
Por la propiedad del ángulo central, el arco mide lo mismo que el ángulo central: \widehat{AB} = \angle BCA = 80.5^\circ.
El arco \widehat{XZ} mide 65^\circ. ¿Cuánto mide el ángulo inscrito \angle XYZ?
El ángulo inscrito mide la mitad del arco que abarca: \angle XYZ = \dfrac{65^\circ}{2} = 32.5^\circ.
Tabla
| Elemento | Vértice | Medida | Ejemplo |
|---|---|---|---|
| Ángulo central | Centro de la circunferencia | Igual al arco que abarca | \angle BCA = 80.5^\circ |
| Ángulo inscrito | Punto de la circunferencia | Mitad del arco que abarca | \angle XYZ = 32.5^\circ |
Diagrama
graph TD
A[Circunferencia] --> B[Ángulo central]
A --> C[Ángulo inscrito]
B --> D[Vértice en el centro]
B --> E[Mide igual que el arco]
C --> F[Vértice en la circunferencia]
C --> G[Mide la mitad del arco]
Fórmulas y ecuaciones
\angle \text{central} = \widehat{AB}
\angle \text{inscrito} = \frac{\widehat{XZ}}{2}
\angle BCA = \widehat{AB} = 80.5^\circ
\angle XYZ = \frac{\widehat{XZ}}{2}
\angle XYZ = \frac{65^\circ}{2} = 32.5^\circ
Glosario (5)
- Ángulo central
- Ángulo cuyo vértice está en el centro de la circunferencia y cuyos lados son radios.
- Ángulo inscrito
- Ángulo cuyo vértice está en un punto de la circunferencia y cuyos lados son cuerdas.
- Arco
- Porción de circunferencia comprendida entre dos puntos.
- Cuerda
- Segmento de recta que une dos puntos de la circunferencia.
- Circunferencia
- Curva cerrada cuyos puntos equidistan de un punto llamado centro.
Preguntas para practicar
¿Por qué el ángulo inscrito mide la mitad del arco que abarca?
Porque al trazar el radio hacia el vértice del ángulo inscrito se forma un triángulo isósceles; el ángulo central exterior es el doble del ángulo inscrito, y como el ángulo central mide igual que el arco, el inscrito queda como la mitad del arco.
¿En qué situaciones de la vida cotidiana se aplican las propiedades del círculo?
Se aplican en el diseño de radares, en la construcción de arcos y puentes, en la fabricación de engranajes y ruedas, y en el trazado de canchas deportivas, entre muchas otras.
Temas y conceptos clave
Figuras de la página (2)
Preguntas que la gente también hace
¿Cómo se calcula la medida de un ángulo inscrito?
¿Cuál es la diferencia entre ángulo central y ángulo inscrito?
¿Qué relación hay entre un arco y su ángulo central?
- • Concepto de ángulo y su medición en grados
- • Elementos básicos de la circunferencia: centro, radio, cuerda
- • Operaciones básicas con números decimales
📝 Transcripción de la página (texto seleccionable) 2090 caracteres
Un arco mide lo mismo que su ángulo central. Así, a cualquier arco se le asigna la misma medida angular que al ángulo que tiene su vértice en el centro de la circunferencia y sus extremos coinciden con los extremos del arco.
El ángulo BCA se denomina ángulo central y se indica como ∠ BCA, mientras que el arco AB es el segmento de circunferencia que abarca ∠ BCA, y se denota como \widehat{AB}. , Por tanto,\angle BCA=\widehat{AB}=80.5^{\circ}
El ángulo inscrito mide la mitad que el arco que abarca. Este ángulo tiene su vértice en un punto de la circunferencia y sus lados son cuerdas; para conocer la medida de su arco se debe conocer o deducir la medida del ángulo central.
En la imagen de abajo, el ángulo XYZ es un ángulo inscrito y el segmento de circunferencia XZ es el arco que abarca el ángulo.
\mathrm{Como}\ \angle XYZ=\frac{\widehat{XZ}}{2},\quad\mathrm{si}\ \widehat{XZ}=65^{\circ},\quad\mathrm{entonces},\quad\angle XYZ=\frac{65^{\circ}}{2},
es decir,\angle XYZ=32.5^{\circ}
Conocer las propiedades del círculo permite trabajar con mayor precisión y rapidez en la resolución de problemas que se modelan con circunferencias o círculos, por ejemplo, los radares de navegación.
El estudio del círculo y sus partes como la circunferencia, el semicírculo, el sector circular, el segmento circular, la zona circular, así como los elementos arco, ángulo inscrito y ángulo central son fundamentales en la geometria. Cada uno de estos elementos tiene una definición precisa y se relaciona con las demás de manera específica. El círculo es una figura geométrica básica y se encuentra presente en muchos aspectos de la vida cotidiana, desde la medición de áreas y perímetros para la construcción y la ingeniería, hasta la creación de diseños en las artes gráficas y la producción de piezas mecánicas en la industria. Comprender los conceptos relacionados con el círculo y sus partes es esencial para la resolución de problemas y la aplicación de la geometria en diversos campos.
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