Proyecto Académico 37: El Sistema Solar, sucesiones con progresión cuadrática

Elaborar una minienciclopedia con gráficas de barras o sectores circulares que incluyan números decimales y fraccionarios con los porcentajes de los componentes del Universo.

1. Componentes aproximados del Universo según el modelo estándar: materia oscura \approx 27\,\%, energía oscura \approx 68\,\%, materia ordinaria \approx 5\,\%.
2. En fracciones: materia oscura \approx \frac{27}{100}, energía oscura \approx \frac{68}{100} = \frac{34}{50}, materia ordinaria \approx \frac{5}{100} = \frac{1}{20}.
3. Verificación de la suma: \frac{27}{100} + \frac{68}{100} + \frac{5}{100} = \frac{100}{100} = 1 = 100\,\%.
4. Representación en gráfica de sectores circulares: cada sector con ángulo proporcional, por ejemplo, materia ordinaria: 5\,\% \times 360^\circ = 18^\circ; materia oscura: 27\,\% \times 360^\circ = 97.2^\circ; energía oscura: 68\,\% \times 360^\circ = 244.8^\circ.
5. Comprobación de ángulos: 18^\circ + 97.2^\circ + 244.8^\circ = 360^\circ.

Comprender las leyes de Kepler utilizando figuras geométricas en una maqueta orbital, con información del movimiento de un planeta, para realizar las mediciones del perímetro de su órbita.

1. Ley de Kepler 1 (órbitas elípticas): los planetas describen elipses con el Sol en uno de los focos. Se modela la órbita como una elipse de semiejes a y b.
2. Ley de Kepler 2 (áreas iguales): el radio vector barre áreas iguales en tiempos iguales.
3. Ley de Kepler 3: \frac{T^{2}}{a^{3}} = k (constante para todos los planetas del Sistema Solar).
4. Perímetro de la órbita (aproximación de Ramanujan para la elipse): P \approx \pi\left[3(a+b) - \sqrt{(3a+b)(a+3b)}\right].
5. Ejemplo con la Tierra: a \approx 149.6 \times 10^{6} \, \text{km}, b \approx 149.6 \times 10^{6} \times \sqrt{1-e^{2}} \approx 149.59 \times 10^{6} \, \text{km} (excentricidad e \approx 0.0167), de modo que la órbita es casi circular: P \approx 2\pi a \approx 2 \times 3.1416 \times 149.6 \times 10^{6} \approx 940.1 \times 10^{6} \, \text{km}.
6. Comprobación con la Ley de Kepler 3 usando la Tierra: T = 1 \, \text{año}, a = 1 \, \text{ua}, \frac{1^{2}}{1^{3}} = 1; para Marte: T \approx 1.88 años, a \approx 1.52 ua, \frac{1.88^{2}}{1.52^{3}} = \frac{3.5344}{3.5118} \approx 1.006 \approx 1.

Proyecto Académico 37, Etapa 1: Explicar las características y dinámica del Sistema Solar (gravitación y movimiento de los planetas) mediante representaciones algebraicas de sucesiones con progresión cuadrática, a través de fichas astronómicas.

1. Una sucesión con progresión cuadrática tiene término general de la forma a_{n} = an^{2} + bn + c con a \neq 0. Sus diferencias de segundo orden son constantes e iguales a 2a.
2. Ficha 1: Distancia de los planetas al Sol (en 10^{6} km), ordenados del 1 al 8 (Mercurio, Venus, Tierra, Marte, Júpiter, Saturno, Urano, Neptuno): 57.9, 108.2, 149.6, 227.9, 778.5, 1433.5, 2872.5, 4495.1. Se puede ajustar con a_{n} \approx 60n^{2} para n=1,2,3 da 60, 240, 540; no es cuadrática estricta, por lo que se usa para comparación.
3. Ficha 2: Períodos de rotación (horas) o ejemplo cuadrático controlado: sea a_{n} = 2n^{2} + 3n + 5. Entonces a_{1} = 2(1)^{2} + 3(1) + 5 = 10, a_{2} = 2(4) + 6 + 5 = 19, a_{3} = 2(9) + 9 + 5 = 32, a_{4} = 2(16) + 12 + 5 = 49.
4. Verificación de progresión cuadrática: primeras diferencias 19 - 10 = 9, 32 - 19 = 13, 49 - 32 = 17; segundoas diferencias 13 - 9 = 4, 17 - 13 = 4 (constante = 2a = 2(2) = 4).
5. Ficha 3: Gravitación y movimiento: la ley de gravitación universal F = G\frac{m_{1}m_{2}}{r^{2}} y las órbitas descritas por sucesiones de posiciones en tiempos discretos t = n\Delta t.
6. Presentación de las fichas en el proyecto: cada ficha contiene una característica, su fórmula o expresión y el término general de la sucesión asociada.