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Representación algebraica de sucesiones con progresión cuadrática

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Respuesta rápida

$3n^{2}-5n+6$

matematica ⭐⭐ Dificultad 2/5 ⏱ 5 min lectura

Solución — Página 112

Colección Sk´asolil. Saberes y pensamiento científico. Libro de Educación Telesecundaria Grado 2° Ciclo Escolar 2025 - 2026

Ejemplo: Representación algebraica de una sucesión con progresión cuadrática

Se busca la regla general de la sucesión $4, 8, 18, 34, 56, \ldots$ mediante el método de diferencias.

Se calculan las primeras diferencias entre términos consecutivos: $8-4=4,\quad 18-8=10,\quad 34-18=16,\quad 56-34=22$ Las primeras diferencias son $4, 10, 16, 22, \ldots$
Se calculan las segundas diferencias: $10-4=6,\quad 16-10=6,\quad 22-16=6$ La segunda diferencia es constante: $6$ .
Como la segunda diferencia es constante, la sucesión es cuadrática y su forma general es $an^{2}+bn+c$ .
El doble del coeficiente $a$ es igual a la segunda diferencia: $2a=6 \Rightarrow a=3$
La expresión $3a+b$ es igual al primer valor de las primeras diferencias: $3a+b=4$ Sustituyendo $a=3$ : $3(3)+b=4 \Rightarrow 9+b=4 \Rightarrow b=4-9=-5$
La expresión $a+b+c$ es igual al término inicial de la sucesión: $a+b+c=4$ Sustituyendo $a=3$ y $b=-5$ : $3+(-5)+c=4 \Rightarrow -2+c=4 \Rightarrow c=4+2=6$
Finalmente, se sustituyen los valores en $an^{2}+bn+c$ : $3n^{2}+(-5)n+6 = 3n^{2}-5n+6$

Respuesta: La representación algebraica de la sucesión es $3n^{2}-5n+6$ .

Contenido de la página

El doble del valor del coeficiente $a$ es equivalente al valor constante de las segundas diferencias. Es decir:

$2a=6$ $a=3$

La expresión $3a+b$ es equivalente al primer valor de las primeras diferencias. Es decir, $3a+b=4$ . Como $a=3$ :

$3(3)+b=4$ $9+b=4$ $b=4-9$ $b=-5$

La expresión $a+b+c$ es equivalente al término inicial de la sucesión. Es decir, $a+b+c=4$ . Sustituye $a=3$ y $b=-5$ :

$(3)+(-5)+c=4$ $3-5+c=4$ $-2+c=4$ $c=4+2$ $c=6$

Finalmente, sustituye los valores de $a=3$ , $b=-5$ y $c=6$ en $an^{2}+bn+c$ :

$(3)n^{2}+(-5)n+(6)=3n^{2}-5n+6$

Por lo anterior, la sucesión $4, 8, 18, 34, 56, \ldots$ tiene una progresión cuadrática y su representación algebraica es: $3n^{2}-5n+6$ .

El método que se expuso para determinar la representación algebraica de una sucesión con progresión cuadrática funciona porque lo que se hace es analizar cómo y cuánto cambian (varían) los valores de la sucesión.

Una forma de estudiar la variación en matemáticas es mediante el cálculo de diferencias entre dos valores consecutivos para saber cuánto cambió de un valor a otro y cómo cambió. Así, se llega a una regla general.

Las representaciones algebraicas de sucesiones con progresión cuadrática son muy útiles para calcular el valor faltante o predecir el valor que debe ir en una secuencia de valores o de figuras que tengan este tipo de comportamiento.

Este conocimiento tiene aplicaciones en distintos ámbitos; por ejemplo, en biología, para predecir la cantidad de reproducciones de cierta especie animal a partir de datos iniciales; en la economía, para determinar el capital acumulado en cierto tiempo; en el deporte, para predecir resultados de entrenamientos; en la industria, para calcular la cantidad de productos fabricados en cierto momento a partir de los datos iniciales y de producción. En matemáticas, son útiles para descubrir propiedades de los números.

Ejemplos resueltos

Determinar la representación algebraica de la sucesión $4, 8, 18, 34, 56, \ldots$

Se calculan las diferencias:

$n$	$a_n$	$1^a$ diferencia	$2^a$ diferencia
1	4
2	8	4
3	18	10	6
4	34	16	6
5	56	22	6

La segunda diferencia es constante ( $6$ ), por lo que la sucesión es cuadrática: $a_n = an^2 + bn + c$ .

$2a = 6 \Rightarrow a = 3$
$3a + b = 4 \Rightarrow 3(3) + b = 4 \Rightarrow 9 + b = 4 \Rightarrow b = -5$
$a + b + c = 4 \Rightarrow 3 + (-5) + c = 4 \Rightarrow -2 + c = 4 \Rightarrow c = 6$

Por lo tanto, $a_n = 3n^2 - 5n + 6$ .

Tabla

$n$	$a_n$	$1^a$ diferencia	$2^a$ diferencia
1	4
2	8	4
3	18	10	6
4	34	16	6
5	56	22	6

Fórmulas y ecuaciones

$an^{2}+bn+c$

2a = $\text{segunda diferencia}$

3a+b = $\text{primer valor de las primeras diferencias}$

a+b+c = $\text{término inicial}$

2a=6

a=3

3a+b=4

3(3)+b=4

9+b=4

b=4-9

b=-5

a+b+c=4

(3)+(-5)+c=4

3-5+c=4

-2+c=4

c=4+2

c=6

$(3)n^{2}+(-5)n+(6)=3n^{2}-5n+6$

Glosario (3)

Progresión cuadrática: Sucesión en la que las segundas diferencias entre términos consecutivos son constantes.
Diferencias finitas: Método que consiste en calcular las diferencias entre términos consecutivos para identificar el tipo de sucesión.
Representación algebraica: Expresión que permite calcular cualquier término de una sucesión en función de su posición $n$.

Preguntas para practicar

¿Por qué el método de diferencias finitas permite obtener la representación algebraica de una sucesión cuadrática?

Porque al calcular las diferencias sucesivas se identifica el grado del polinomio que genera la sucesión. Si la segunda diferencia es constante, la sucesión es cuadrática y los coeficientes se determinan a partir de las relaciones entre las diferencias y los términos iniciales.

¿En qué contextos de la vida real se pueden aplicar las sucesiones cuadráticas?

Se aplican en biología para modelar poblaciones, en economía para calcular capital acumulado, en deporte para predecir rendimientos, en industria para estimar producción y en matemáticas para estudiar propiedades numéricas.

Temas y conceptos clave

Sucesiones con progresión cuadráticaMétodo de diferencias finitasRepresentación algebraica de sucesionesProgresión cuadráticaDiferencias finitasTérmino generalCoeficientes a, b, c

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Preguntas que la gente también hace

¿Cómo saber si una sucesión es cuadrática?

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¿Cómo se calcula el término general de una sucesión cuadrática?

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¿Para qué sirven las sucesiones cuadráticas en la vida real?

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📌 Antes de leer esto

• Identificar patrones numéricos
• Operaciones básicas con números enteros
• Sustitución de valores en expresiones algebraicas

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Aplicaciones de las sucesiones cuadráticas en contextos reales

📝 Transcripción de la página (texto seleccionable) 2187 caracteres

El doble del valor del coefi ciente a es equivalente al valor constante de las segundas diferencias. Es decir:

$\begin{aligned}2a&=6\\a&=3\end{aligned}$

$\begin{array}{l}\text{*La expression}3a+b\text{es equivalent al prime valor de has primeas differences.}\\\text{Ex decir,}3a+b=4.\text{Como}a=3:\\\quad3(3)+b=4\\\quad9+b=4\\\quad b=4-9\\\quad b=-5\end{array}$

(ci adexpresión $a+b+c$ es equivalente al término inicial de la sucesión. Es decir,

$a+b+c=4 .Su$

$.Su \begin{array}{c}\text{structure}a=3\text{y}b=-5;\\(3)+(-5)+c=4\\3-5+c=4\\-2+c=4\\c=4+2\\c=6\end{array} a=3y b=-5; \begin{array}{c}\text{structure}a=3\text{y}b=-5;\\(3)+(-5)+c=4\\3-5+c=4\\-2+c=4\\c=4+2\\c=6\end{array}$

Finalmente, sustituye los valores de $a=3,b=-5yc=6\mathrm{en}an^{2}+bn+c.$

$(3)n^{2}+(-5)n+(6)=3n^{2}-5n+6$

Por lo anterior, la sucesión 4, 8, 18, 34, $56,\ldots$ . tiene una progresión cuadrática y su representación algebraica es: $3n^{2}-5n+6$

Este conocimiento tiene aplicaciones en distintos ámbitos; por ejemplo, en biologia,para predecir la cantidad de reproducciones de cierta especie animal a partir de datos iniciales; en la economia, para determinar el capital acumulado en cierto tiempo; en el deporte, para predecir resultados de entrenamientos; en la industria, para calcular la cantidad de productos fabricados en cierto momento a partir de los datos iniciales y de producción. En matemáticas, son útiles para descubrir propiedades de los números.