Libro de Saberes y Pensamiento Cientifico 2

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Método de las diferencias para sucesiones cuadráticas

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Respuesta rápida

Segundas diferencias constantes = 2 → sucesión cuadrática. Expresión: $S_n = n^{2}+n+3$ .

📚 theory matematica ⭐⭐ Dificultad 2/5 ⏱ 4 min lectura

Solución — Página 109

Colección Sk´asolil. Saberes y pensamiento científico. Libro de Educación Telesecundaria Grado 2° Ciclo Escolar 2025 - 2026

Explicación del método de las diferencias

La página presenta una sucesión cuyos términos son 5, 9, 15, 23, ... y muestra cómo determinar su expresión algebraica de la forma $an^{2}+bn+c$ .

Paso 1. Registrar los términos

Se organiza la información en una tabla:

Posición $n$	1	2	3	4	...	$n$
Término $S_n$	5	9	15	23	...	$S_n$

Paso 2. Calcular las primeras diferencias

Se restan términos consecutivos:

$9-5=4$
$15-9=6$
$23-15=8$

Primeras diferencias: $4,\ 6,\ 8,\ ...$

Paso 3. Calcular las segundas diferencias

Se restan las primeras diferencias consecutivas:

$6-4=2$
$8-6=2$

Segundas diferencias: $2,\ 2,\ ...$

Paso 4. Interpretar el resultado

Como las segundas diferencias son constantes ( $2$ ), la sucesión es de progresión cuadrática y su término general tiene la forma:

$S_n = an^{2}+bn+c$

Además, se cumple la relación $2a = 2$ , de donde $a = 1$ .

Paso 5. Determinar $b$ y $c$ (completando el método)

Con $a=1$ , se plantea el sistema usando los dos primeros términos:

Para $n=1$ : $1+b+c=5 \Rightarrow b+c=4$
Para $n=2$ : $4+2b+c=9 \Rightarrow 2b+c=5$

Restando: $b=1$ , y entonces $c=3$ .

Respuesta: La expresión algebraica es $S_n = n^{2}+n+3$ .

Verificación

$n=1$ : $1+1+3=5$ ✓
$n=2$ : $4+2+3=9$ ✓
$n=3$ : $9+3+3=15$ ✓
$n=4$ : $16+4+3=23$ ✓

Contenido de la página

Para obtener la representación algebraica de esta sucesión de figuras, se registra cuántos elementos forman la figura en cada posición de la sucesión. Después, se organiza la información, como se muestra a continuación.

Posición	1	2	3	4	...	n
Términos de la sucesión	5	9	15	23	...	$S_n$

Enseguida, se describe el método de las diferencias para determinar los valores de los coeficientes de la expresión cuadrática $an^{2}+bn+c$ , es decir, los valores de $a$ , $b$ y $c$ , que determinan cualquier término de la sucesión anterior.

Usando la información de la tabla anterior, se calculan las restas entre los términos de la sucesión (primeras diferencias), así como las restas de las primeras diferencias (segundas diferencias), como se muestra a continuación.

Posición (n)	1	2	3	4	...	n
Términos de la sucesión	5	9	15	23	...	$S_n$
Primeras diferencias		4	6	8	...
Segundas diferencias			2	2	...

Se puede notar que el valor de las segundas diferencias siempre es constante, en este caso es 2; por tanto, se tiene una sucesión con progresión cuadrática.

Ejemplos resueltos

Determinar la expresión algebraica de la sucesión 5, 9, 15, 23, ...

Primeras diferencias: 4, 6, 8. Segundas diferencias: 2, 2 (constantes). Entonces $2a=2 \Rightarrow a=1$ . Con $n=1$ : $1+b+c=5$ ; con $n=2$ : $4+2b+c=9$ . Resolviendo: $b=1$ , $c=3$ . Por tanto $S_n=n^{2}+n+3$ .

Tablas (2)

Posición	1	2	3	4	...	n
Términos de la sucesión	5	9	15	23	...	$S_n$

Posición (n)	1	2	3	4	...	n
Términos de la sucesión	5	9	15	23	...	$S_n$
Primeras diferencias		4	6	8	...
Segundas diferencias			2	2	...

Fórmulas y ecuaciones

$S_n$ = $an^{2}+bn+c$

2a = 2

$S_n$ = $n^{2}+n+3$

Glosario (4)

Sucesión: Conjunto ordenado de números o figuras que siguen un patrón.
Primeras diferencias: Restas entre términos consecutivos de una sucesión.
Segundas diferencias: Restas entre las primeras diferencias consecutivas.
Progresión cuadrática: Sucesión cuyo término general es de la forma an²+bn+c y cuyas segundas diferencias son constantes.

Preguntas para practicar

¿Por qué el método de las diferencias permite identificar una sucesión cuadrática?

Porque en una sucesión cuadrática las primeras diferencias forman una progresión aritmética y, por tanto, las segundas diferencias son constantes. Ese valor constante equivale a $2a$, lo que permite encontrar el coeficiente principal de la expresión $an^{2}+bn+c$.

Temas y conceptos clave

Sucesiones cuadráticasMétodo de las diferenciasPrimeras diferenciasSegundas diferenciasProgresión cuadráticaExpresión algebraica an²+bn+c

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Preguntas que la gente también hace

¿Cómo saber si una sucesión es cuadrática?

Consulta la solución completa arriba o explora el libro entero para temas relacionados.

¿Qué significa que las segundas diferencias sean constantes?

Consulta la solución completa arriba o explora el libro entero para temas relacionados.

¿Cómo se calcula el término general de una sucesión cuadrática?

Consulta la solución completa arriba o explora el libro entero para temas relacionados.

📌 Antes de leer esto

• Identificar patrones numéricos
• Realizar restas sucesivas
• Sustituir valores en expresiones algebraicas

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Aplicación del método de las diferencias para obtener el término general de sucesiones cuadráticas

📝 Transcripción de la página (texto seleccionable) 1635 caracteres

Enseguida, se describe el método de las diferencias para determinar los valores de los coeficientes de la expresión cuadrática $an^{2}+bn+c,$ , es decir, los valores de a, b y c, que determinan cualquier término de la sucesión anterior.

Usando la información de la tabla anterior, se calculan las restas entre los términos de la sucesión (primeras diferencias),así como las restas de las primeras diferencias (segundas diferencias), como se muestra a continuación.

Se puede notar que el valor de las segundas diferencias siempre es constante, en este caso es 2; por tanto, se tiene una sucesión con progresión cuadrática.

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