Obtención de la regla cuadrática de una sucesión por método de sustitución

Los coeficientes de an^{2}+bn+c se obtienen al relacionar los valores obtenidos en la tabla anterior de la manera siguiente:

• 2a = Segunda diferencia de los términos de la sucesión
• 3a + b = Primera diferencia de los primeros dos términos de la sucesión
• a + b + c = Primer término de la sucesión

Al sustituir los valores especificados en la tabla, correspondientes a las tres expresiones anteriores, se obtienen las igualdades:

\begin{aligned} 2a &= 2 \\ 3a + b &= 4 \\ a + b + c &= 5 \end{aligned}

Para obtener los valores de a, b y c, se resuelve este sistema de tres ecuaciones lineales con el método de sustitución, por ejemplo, como se indica a continuación:

1. Se despeja a, para encontrar su valor.
2. Se sustituye a en la siguiente ecuación para encontrar el valor de b.
3. Se sustituyen los valores de a y b para encontrar el valor de c.

\begin{aligned} 1.\ 2a &= 2 & 2.\ 3a + b &= 4 & 3.\ a + b + c &= 5 \\ a &= \frac{2}{2} & 3(1) + b &= 4 & (1) + (1) + c &= 5 \\ a &= 1 & 3 + b &= 4 & 2 + c &= 5 \\ & & b &= 4 - 3 = 1 & c &= 5 - 2 \\ & & & & c &= 3 \end{aligned}

Por tanto, al sustituir estos valores en la expresión an^{2}+bn+c, se obtiene la regla cuadrática de la sucesión: (1)n^{2}+(1)n+3 = n^{2}+n+3.

Si al calcular las segundas diferencias de los términos de una sucesión, el resultado siempre es un valor constante, entonces la sucesión tiene una progresión cuadrática y su representación algebraica será de la forma an^{2}+bn+c.