Libro de Saberes y Pensamiento Cientifico 2

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Representación algebraica de sucesiones de figuras con progresión cuadrática

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Respuesta rápida

Sucesión cuadrática: $t_{n}=n^{2}+n+2$ . Coeficientes: $a=1$ , $b=1$ , $c=2$ . Segunda diferencia constante $=2$ .

📚 theory matematica ⭐⭐ Dificultad 2/5 ⏱ 6 min lectura

Solución — Página 108

Colección Sk´asolil. Saberes y pensamiento científico. Libro de Educación Telesecundaria Grado 2° Ciclo Escolar 2025 - 2026

Explicación del contenido

Una sucesión con progresión cuadrática es una secuencia de figuras o elementos cuyo crecimiento o decrecimiento se puede representar con una expresión algebraica de segundo grado:

$a_{n} = an^{2} + bn + c$

donde $n$ indica la posición de la figura en la secuencia y $a$ , $b$ , $c$ son coeficientes constantes.

Método de diferencias

Se cuentan los elementos de cada figura: $t_{1}, t_{2}, t_{3}, \dots$
Se calculan las primeras diferencias: $d_{1} = t_{2}-t_{1}$ , $d_{2}=t_{3}-t_{2}$ , etc.
Se calculan las segundas diferencias: $s_{1}=d_{2}-d_{1}$ , $s_{2}=d_{3}-d_{2}$ , etc.
Si las segundas diferencias son constantes, la sucesión es cuadrática y esa constante vale $2a$ .

Determinación de los coeficientes

$a = \dfrac{\text{segunda diferencia}}{2}$
$b = t_{1} - a - c$ (o resolviendo con $t_{1}$ y $t_{2}$ )
$c = t_{1} - a - b$

Aplicación a las figuras de la página

Contando los triángulos de cada figura:

Figura	Posición $n$	Triángulos $t_{n}$
Figura 1	1	4
Figura 2	2	8
Figura 3	3	14
Figura 4	4	22

Primeras diferencias: $8-4=4$ , $14-8=6$ , $22-14=8$ .

Segundas diferencias: $6-4=2$ , $8-6=2$ . Son constantes ( $=2$ ), por lo tanto la progresión es cuadrática.

Cálculo de coeficientes:

$2a = 2 \Rightarrow a = 1$ .
Con $n=1$ : $1 + b + c = 4 \Rightarrow b + c = 3$ .
Con $n=2$ : $4 + 2b + c = 8 \Rightarrow 2b + c = 4$ .
Restando: $b = 1$ , entonces $c = 2$ .

Expresión algebraica:

$t_{n} = n^{2} + n + 2$

Verificación: para $n=3$ : $9+3+2=14$ ✓; para $n=4$ : $16+4+2=22$ ✓.

Contenido de la página

Representación algebraica de sucesiones de figuras con progresión cuadrática

Una sucesión con progresión cuadrática es una secuencia de figuras o elementos en la que el crecimiento o decrecimiento del número de éstas puede ser representado mediante una expresión algebraica de segundo grado de la forma $an^{2}+bn+c$ , donde $n$ indica la posición de una figura en la secuencia. Los coeficientes constantes $a$ , $b$ y $c$ se determinan usando un método de diferencias. Este método relaciona dichos coeficientes de la regla cuadrática con las diferencias de términos consecutivos de la sucesión.

Una sucesión de figuras tiene progresión cuadrática si, al calcular las segundas diferencias entre la cantidad de elementos que las componen, siempre se obtiene un valor constante.

En la imagen se muestra una sucesión de figuras con progresión cuadrática.

Figura 1: 4 triángulos
Figura 2: 8 triángulos
Figura 3: 14 triángulos
Figura 4: 22 triángulos

Ejemplos resueltos

Determinar la expresión algebraica de la sucesión de figuras mostrada: 4, 8, 14, 22, ...

Primeras diferencias: $4, 6, 8$ . Segundas diferencias: $2, 2$ (constante). Entonces $2a=2 \Rightarrow a=1$ . Con $n=1$ : $1+b+c=4$ . Con $n=2$ : $4+2b+c=8$ . Restando: $b=1$ , $c=2$ . Expresión: $t_{n}=n^{2}+n+2$ .

Tabla

Figura	Posición n	Triángulos	Primera diferencia	Segunda diferencia
Figura 1	1	4	—	—
Figura 2	2	8	4	—
Figura 3	3	14	6	2
Figura 4	4	22	8	2

Diagrama

flowchart TD
  A[Sucesión de figuras] --> B[Contar elementos: t1, t2, t3...]
  B --> C[Calcular primeras diferencias]
  C --> D[Calcular segundas diferencias]
  D --> E{¿Son constantes?}
  E -- Sí --> F[Progresión cuadrática: an²+bn+c]
  E -- No --> G[No es cuadrática]

Fórmulas y ecuaciones

$a_{n}$ = $an^{2}$ + bn + c

a = $\dfrac{\text{segunda diferencia}}{2}$

$a_{n}$ = $an^{2}$ + bn + c

2a = $\text{segunda diferencia}$

$t_{n}$ = $n^{2}$ + n + 2

Glosario (5)

Sucesión: Conjunto ordenado de elementos que siguen un patrón o regla.
Progresión cuadrática: Sucesión cuyo término general es un polinomio de segundo grado y cuyas segundas diferencias son constantes.
Método de diferencias: Procedimiento que usa las diferencias entre términos consecutivos para identificar el tipo de sucesión y sus coeficientes.
Segunda diferencia: Diferencia calculada entre dos primeras diferencias consecutivas.
Término general: Expresión algebraica que permite calcular cualquier término de la sucesión a partir de su posición n.

Preguntas para practicar

¿Por qué se dice que una sucesión tiene progresión cuadrática?

Porque su término general es un polinomio de segundo grado de la forma $an^{2}+bn+c$ y, al calcular las segundas diferencias entre términos consecutivos, siempre se obtiene un valor constante. Esto la distingue de las sucesiones lineales, cuyas primeras diferencias son constantes.

¿Cómo se relaciona la segunda diferencia constante con el coeficiente a?

La segunda diferencia constante es igual a $2a$, por lo que $a$ se obtiene dividiendo esa constante entre 2. Este valor determina la curvatura o aceleración del crecimiento de la sucesión.

Temas y conceptos clave

Sucesiones con progresión cuadráticaRepresentación algebraica de sucesionesMétodo de diferenciasProgresión cuadráticaTérmino general an²+bn+cPrimeras diferenciasSegundas diferencias constantesCoeficientes a, b, c

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Figuras de la página (1)

Cuatro figuras formadas con triángulos azules en forma de V. La Figura 1 tiene 4 triángulos, la Figura 2 tiene 8, la Figura 3 tiene 14 y la Figura 4 tiene 22, mostrando el crecimiento cuadrático. — Figura 1 image

Preguntas que la gente también hace

¿Cómo saber si una sucesión es cuadrática?

Consulta la solución completa arriba o explora el libro entero para temas relacionados.

¿Cómo se calculan los coeficientes a, b y c de una sucesión cuadrática?

Consulta la solución completa arriba o explora el libro entero para temas relacionados.

¿Qué significa que la segunda diferencia sea constante?

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📌 Antes de leer esto

• Identificar patrones en sucesiones numéricas
• Sustituir valores en expresiones algebraicas
• Resolver sistemas de ecuaciones lineales sencillos
• Operaciones básicas con números enteros

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