Calcula el rango, la media aritmética, la varianza y la desviación estándar del grupo C con los datos 15, 27, 43, 70, 67.

R = 55, x = 44.4, S^2 = 583.8, S ≈ 24.162

Calcula el rango de las tasas de inflación de México, la Unión Europea y Estados Unidos en los cinco quinquenios.

R_México = 20.90, R_UE = 1.02, R_EUA = 2.04

Libro de Saberes y Pensamiento Cientifico 2

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Rango, varianza y desviación estándar: ejemplo con tasas de inflación por quinquenio

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Respuesta rápida

Grupo C: $R=55$ , $\bar{x}=44.4$ , $S^2=583.8$ , $S\approx 24.162$ . Rangos: México $20.90$ , UE $1.02$ , EUA $2.04$ .

matematica ⭐⭐ Dificultad 2/5 ⏱ 8 min lectura

Solución — Página 96

Colección Sk´asolil. Saberes y pensamiento científico. Libro de Educación Telesecundaria Grado 2° Ciclo Escolar 2025 - 2026

Ejercicio 1

En el grupo C, calcula el rango, la media aritmética, la varianza y la desviación estándar de los datos: $15, 27, 43, 70, 67$ .

Rango: se restan el valor máximo y el mínimo. $R = V_{\max} - V_{\min} = 70 - 15 = 55$
Media aritmética: se suman los datos y se dividen entre $n=5$ . $\bar{x} = \frac{\sum_{i=1}^{n} x_i}{n} = \frac{15+27+43+70+67}{5} = \frac{222}{5} = 44.4$
Varianza: se eleva al cuadrado cada desviación respecto a la media y se divide entre $n-1$ . $S^2 = \frac{\sum_{i=1}^{n}(x_i-\bar{x})^2}{n-1}$ $S^2 = \frac{(15-44.4)^2+(27-44.4)^2+(43-44.4)^2+(70-44.4)^2+(67-44.4)^2}{5-1}$ $S^2 = \frac{864.36+302.76+1.96+655.36+510.76}{4} = \frac{2335.2}{4} = 583.8$
Desviación estándar: se obtiene la raíz cuadrada de la varianza. $S = \sqrt{583.8} \approx 24.162$

Respuesta

$R = 55$ , $\bar{x} = 44.4$ , $S^2 = 583.8$ , $S \approx 24.162$ .

Ejercicio 2

La tabla muestra las tasas de inflación promedio de México, la Unión Europea y Estados Unidos en cinco quinquenios. Calcula el rango de cada territorio.

Parte 2.a

México

Datos: $24.51,\ 4.93,\ 4.44,\ 3.61,\ 4.16$ .
Máximo $= 24.51$ , mínimo $= 3.61$ . $R = 24.51 - 3.61 = 20.90$

Respuesta

$R = 20.90$ .

Parte 2.b

Unión Europea

Datos: $2.36,\ 2.55,\ 2.24,\ 1.69,\ 2.71$ .
Máximo $= 2.71$ , mínimo $= 1.69$ . $R = 2.71 - 1.69 = 1.02$

Respuesta

$R = 1.02$ .

Parte 2.c

Estados Unidos

Datos: $3.14,\ 2.53,\ 2.35,\ 1.46,\ 1.1$ .
Máximo $= 3.14$ , mínimo $= 1.1$ . $R = 3.14 - 1.1 = 2.04$

Respuesta

$R = 2.04$ .

Ejercicio 3

Interpreta: ¿qué territorio tuvo mayor variación en su inflación y qué relación tiene con las medidas de tendencia central?

Se comparan los rangos: México $20.90$ , Estados Unidos $2.04$ , Unión Europea $1.02$ .
México presenta la mayor variación porque su inflación pasó de $24.51\%$ a valores cercanos a $4\%$ .
Cuando la variación es mucha, los datos tienden a la mediana; cuando es poca, tienden a la media aritmética.

Respuesta

México tuvo la mayor variación ( $R = 20.90$ ); la Unión Europea, la menor ( $R = 1.02$ ).

Contenido de la página

En el grupo C:

$R = V_{\max} - V_{\min}$ $R = 70 - 15$ $R = 55$

$\bar{x} = \sum_{i=1}^{n} \frac{x_i}{n} = \frac{15+27+43+70+67}{5} = 44.4$

Por tanto,

$S^2 = \sum_{i=1}^{n} \frac{(x_i-\bar{x})^2}{n-1}$

$S^2 = \frac{(15-44.4)^2+(27-44.4)^2+(43-44.4)^2+(70-44.4)^2+(67-44.4)^2}{5-1}$

$S^2 = \frac{2335.2}{4} = 583.8$

Recuerda que para calcular $S$ se debe obtener la raíz cuadrada en ambos lados de la igualdad. $S = 24.162$

Lo anterior muestra que el valor del rango y la desviación estándar reflejan la variación en los datos; es decir, si su valor es 0, no existe variación en los datos, como en el grupo A, y cuanto mayor sea el valor de los datos, mayor es la variación.

Las medidas de tendencia central describen alrededor de qué valor tiende el conjunto de datos de acuerdo con su variación. Si no existe variación o es poca, los datos tienden a la media aritmética y a la mediana; si la variación es mucha, tienden a la mediana. A continuación, se verá un ejemplo que lo ilustra.

Ejemplo 2

La siguiente tabla muestra las tasas de inflación promedio de México, Estados Unidos y la Unión Europea en los cinco últimos quinquenios. Un quinquenio es un periodo de 5 años.

Tasas de inflación por quinquenio

Territorios	1996-2000	2001-2005	2006-2010	2011-2015	2016-2020
México	24.51	4.93	4.44	3.61	4.16
Unión Europea	2.36	2.55	2.24	1.69	2.71
Estados Unidos	3.14	2.53	2.35	1.46	1.1

Ejemplos resueltos

Calcula el rango, la media, la varianza y la desviación estándar del grupo C: $15, 27, 43, 70, 67$ .

$R = 70-15 = 55$ ; $\bar{x} = \frac{222}{5} = 44.4$ ; $S^2 = \frac{2335.2}{4} = 583.8$ ; $S = \sqrt{583.8} \approx 24.162$ .

Con la tabla de tasas de inflación por quinquenio, determina el rango de cada territorio.

México: $24.51-3.61 = 20.90$ . Unión Europea: $2.71-1.69 = 1.02$ . Estados Unidos: $3.14-1.1 = 2.04$ .

Tabla

Territorios	1996-2000	2001-2005	2006-2010	2011-2015	2016-2020
México	24.51	4.93	4.44	3.61	4.16
Unión Europea	2.36	2.55	2.24	1.69	2.71
Estados Unidos	3.14	2.53	2.35	1.46	1.1

Diagrama

flowchart TD
  A[Medidas de dispersión] --> B[Rango]
  A --> C[Varianza]
  A --> D[Desviación estándar]
  B --> B1[Vmax - Vmin]
  C --> C1[Suma de desviaciones al cuadrado / n-1]
  D --> D1[Raíz cuadrada de la varianza]
  A --> E[Variación de los datos]
  E --> F[Poca variación: tienden a la media]
  E --> G[Mucha variación: tienden a la mediana]

Fórmulas y ecuaciones

R = $V_{\max}$ - $V_{\min}$

$\bar{x}$ = $\frac{\sum x_i}{n}$

$S^2$ = $\frac{\sum (x_i-\bar{x})^2}{n-1}$

S = $\sqrt{S^2}$

R = $V_{\max}$ - $V_{\min}$

$\bar{x}$ = $\frac{\sum_{i=1}^{n} x_i}{n}$

$S^2$ = $\frac{\sum_{i=1}^{n}(x_i-\bar{x})^2}{n-1}$

S = $\sqrt{S^2}$

Glosario (5)

Rango: Diferencia entre el valor máximo y el mínimo de un conjunto de datos.
Varianza: Promedio de las desviaciones al cuadrado respecto a la media; mide la dispersión de los datos.
Desviación estándar: Raíz cuadrada de la varianza; indica cuánto se alejan los datos de la media en las mismas unidades.
Quinquenio: Periodo de cinco años.
Inflación: Aumento generalizado y sostenido de los precios de bienes y servicios en una economía.

Preguntas para practicar

¿Por qué si la variación es mucha los datos tienden a la mediana y no a la media?

Porque la media aritmética es sensible a los valores extremos: un dato muy alto o muy bajo la desplaza. La mediana, en cambio, ocupa la posición central y no se altera por esos valores atípicos, por lo que representa mejor al conjunto cuando la dispersión es grande.

¿Qué indica que la desviación estándar sea igual a cero?

Indica que todos los datos del conjunto son iguales, por lo que no existe variación respecto a la media. En ese caso, el rango también sería cero y la media, la mediana y la moda coincidirían con ese único valor.

Temas y conceptos clave

Medidas de dispersiónRangoVarianzaDesviación estándarMedidas de tendencia centralTasas de inflación por quinquenioRangoVarianzaDesviación estándarMedia aritméticaMedianaVariación de datos

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Preguntas que la gente también hace

¿Cómo se calcula la desviación estándar paso a paso?

Consulta la solución completa arriba o explora el libro entero para temas relacionados.

¿Qué diferencia hay entre rango, varianza y desviación estándar?

Consulta la solución completa arriba o explora el libro entero para temas relacionados.

¿Por qué se divide entre n-1 al calcular la varianza muestral?

Consulta la solución completa arriba o explora el libro entero para temas relacionados.

📌 Antes de leer esto

• Media aritmética
• Sumatoria
• Raíz cuadrada
• Operaciones con números decimales

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Comparación de medidas de tendencia central y dispersión en conjuntos de datos reales

📝 Transcripción de la página (texto seleccionable) 1757 caracteres

En el grupo C:

$\begin{aligned}&R=V_{\min}-V_{\min}\\ &R=70-15\\ &R=55\\ &\overline{x}=\sum_{i=1}^{n}\frac{x_i}{n}=\frac{15+27+43+70+67}{5}=44.4\\ &For into,\\ &S^2=\sum_{i=1}^{n}\frac{\left(x_i-\overline{x}\right)^2}{n-1}\\ &S^2=\frac{\left(15-44.4\right)^2+\left(27-44.4\right)^2+\left(43-44.4\right)^2+\left(70-44.4\right)^2+\left(67-44.4\right)^2}{5-1}\\ &S^2=\frac{2\ 335.2}{4}=583.8\\ \end{aligned}$

Recuerda que para calcular S se debe obtener la raiz cuadrada en ambos lados de la igualdad. $S=24.162$

Lo anterior muestra que el valor del rango y la desviación estándar refejan la variación en los datos; es decir, si su valor es 0, no existe variación en los datos, como en el grupo A, y cuanto mayor sea el valor de los datos, mayor es la variación.

Las medidas de tendencia central describen alrededor de quévalor tiende el conjunto de datos de acuerdo con su variación.Si no existe variación o es poca, los datos tienden a la media aritmética y a la mediana; si la variación es mucha, tienden a la mediana. A continuación, se verá un ejemplo que lo ilustra.

Ejemplo2

La siguiente tabla muestra las tasas de inflación promedio de México, Estados Unidos y la Unión Europea en los cinco últimos quinquenios. Un quinquenio es un periodo de 5 anos.

紫

Tasas de inflacion por quinquenio

Territorios	1996-2000			2011-2015	2016-2020
México	24.51	4.93	4.44	3.61	4.16
Unión Europea	2.36	2.55	2.24	1.69	2.71
Estados Unidos	3.14	2.53	2.35	1.46	1.1

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