Interpretación de la variación de datos: rango, varianza y desviación estándar
Respuesta rápida
Grupo A: R=0, S=0. Grupo B: R=2, S\approx 0.84. Grupo C: R=55, S\approx 24.16.
Solución — Página 94
Colección Sk´asolil. Saberes y pensamiento científico. Libro de Educación Telesecundaria Grado 2° Ciclo Escolar 2025 - 2026
Ejemplo 1
Se comparan tres grupos de 5 datos cada uno para identificar el tipo de variación (nula, poca o mucha).
- Grupo A: 12, 12, 12, 12, 12. Todos los valores son iguales, por lo que no hay variación.
- Grupo B: 12, 13, 12, 14, 13. Los valores oscilan entre 12 y 14; la variación es poca.
- Grupo C: 15, 27, 43, 70, 67. Los valores van de 15 a 70; existe mucha variación entre los datos.
Respuesta: Grupo A sin variación, Grupo B poca variación y Grupo C mucha variación.
Medidas de dispersión
- Rango: R = V_{\text{máx}} - V_{\text{mín}}.
- Varianza: S^{2} = \dfrac{\sum_{i=1}^{n}(x_{i}-\bar{x})^{2}}{n-1}.
- Desviación estándar: S = \sqrt{S^{2}}.
- Media aritmética: \bar{x} = \dfrac{\sum_{i=1}^{n} x_{i}}{n}.
Respuesta: El rango mide la amplitud total; la varianza y la desviación estándar miden la dispersión respecto a la media.
Cálculo con los datos del Ejemplo 1
Grupo A
- Media: \bar{x} = \dfrac{12+12+12+12+12}{5} = 12.
- Rango: R = 12 - 12 = 0.
- Varianza: S^{2} = \dfrac{0+0+0+0+0}{4} = 0.
- Desviación estándar: S = \sqrt{0} = 0.
Respuesta: R=0, S^{2}=0, S=0.
Grupo B
- Media: \bar{x} = \dfrac{12+13+12+14+13}{5} = \dfrac{64}{5} = 12.8.
- Rango: R = 14 - 12 = 2.
- Desviaciones al cuadrado: (12-12.8)^{2}=0.64, (13-12.8)^{2}=0.04, (12-12.8)^{2}=0.64, (14-12.8)^{2}=1.44, (13-12.8)^{2}=0.04.
- Suma: 0.64+0.04+0.64+1.44+0.04 = 2.8.
- Varianza: S^{2} = \dfrac{2.8}{4} = 0.7.
- Desviación estándar: S = \sqrt{0.7} \approx 0.84.
Respuesta: R=2, S^{2}=0.7, S\approx 0.84.
Grupo C
- Media: \bar{x} = \dfrac{15+27+43+70+67}{5} = \dfrac{222}{5} = 44.4.
- Rango: R = 70 - 15 = 55.
- Desviaciones al cuadrado: (15-44.4)^{2}=864.36, (27-44.4)^{2}=302.76, (43-44.4)^{2}=1.96, (70-44.4)^{2}=655.36, (67-44.4)^{2}=510.76.
- Suma: 864.36+302.76+1.96+655.36+510.76 = 2335.2.
- Varianza: S^{2} = \dfrac{2335.2}{4} = 583.8.
- Desviación estándar: S = \sqrt{583.8} \approx 24.16.
Respuesta: R=55, S^{2}=583.8, S\approx 24.16.
Contenido de la página
Interpretación de la variación de datos
Las tendencias de los datos de un conjunto se identifican a partir de sus variaciones y sus valores representativos. La variación de los datos se refiere a las diferencias y cambios entre éstos. Se representan a través de las medidas de tendencia central (media aritmética, moda y mediana), así como de las medidas de dispersión (desviación estándar y rango).
En un conjunto de datos puede o no haber variación, pero, de haberla, puede ser poca o mucha. Los siguientes son ejemplos alusivos a cada uno de los tipos de dispersión.
Ejemplo 1
| Grupo A | Grupo B | Grupo C |
|---|---|---|
| La edad de 5 estudiantes de un grupo de segundo grado de secundaria | La edad de 5 atletas de un colegio | La edad de 5 personas en un autobús |
| 12, 12, 12, 12, 12 | 12, 13, 12, 14, 13 | 15, 27, 43, 70, 67 |
En el grupo A, los datos no tienen variación; en el grupo B, la variación de los datos es poca; y en el grupo C, existe mucha variación entre los datos.
La dispersión en los datos se mide por su rango o la desviación estándar; esta última se entiende como la variación o dispersión entre los datos individuales y la media aritmética.
Para denotar estas medidas se usa R para rango, S para la desviación estándar (que es la raíz cuadrada de la varianza, representada como S^{2}) y \bar{x} para la media aritmética. Después se calculan de la siguiente manera:
R = V_{\text{máx}} - V_{\text{mín}} \quad \text{y} \quad S^{2} = \sum_{i=1}^{n} \frac{(x_{i}-\bar{x})^{2}}{(n-1)}, \text{ donde } \bar{x} = \sum_{i=1}^{n} \frac{x_{i}}{n}.
Ejemplos resueltos
Comparar la variación de tres grupos de 5 datos: A = {12,12,12,12,12}, B = {12,13,12,14,13}, C = {15,27,43,70,67}.
Grupo A: todos los datos son iguales, no hay variación. Grupo B: los datos oscilan entre 12 y 14, poca variación. Grupo C: los datos van de 15 a 70, mucha variación. Se calcula R, S^{2} y S para cada grupo.
Tabla
| Grupo A | Grupo B | Grupo C |
|---|---|---|
| La edad de 5 estudiantes de un grupo de segundo grado de secundaria | La edad de 5 atletas de un colegio | La edad de 5 personas en un autobús |
| 12, 12, 12, 12, 12 | 12, 13, 12, 14, 13 | 15, 27, 43, 70, 67 |
Diagrama
mindmap
root((Variación de datos))
Medidas de tendencia central
Media aritmética
Moda
Mediana
Medidas de dispersión
Rango
Desviación estándar
Varianza
Fórmulas y ecuaciones
R = V_{@@MATH_0@@\text{mín}}
S^{2} = \sum_{i=1}^{n} \frac{(x_{i}-\bar{x})^{2}}{(n-1)}
\bar{x} = \sum_{i=1}^{n} \frac{x_{i}}{n}
R = V_{@@MATH_0@@\text{mín}}
S^{2} = \sum_{i=1}^{n} \frac{(x_{i}-\bar{x})^{2}}{(n-1)}
\bar{x} = \sum_{i=1}^{n} \frac{x_{i}}{n}
S = \sqrt{S^{2}}
Glosario (5)
- Variación
- Diferencias y cambios entre los datos de un conjunto.
- Rango
- Diferencia entre el valor máximo y el valor mínimo de un conjunto de datos.
- Varianza
- Promedio de las desviaciones al cuadrado respecto a la media.
- Desviación estándar
- Raíz cuadrada de la varianza; mide la dispersión de los datos respecto a la media.
- Media aritmética
- Suma de todos los datos dividida entre el número total de datos.
Preguntas para practicar
¿Por qué el grupo A tiene desviación estándar igual a cero?
Porque todos sus datos son iguales a la media (12), entonces cada desviación $(x_i - \bar{x})$ es cero y, por lo tanto, la varianza y la desviación estándar también son cero. Esto indica ausencia total de dispersión.
¿Qué diferencia hay entre el rango y la desviación estándar?
El rango solo considera los valores extremos (máximo y mínimo), mientras que la desviación estándar considera todos los datos y su distancia respecto a la media. Por eso la desviación estándar es una medida más representativa de la dispersión.
Temas y conceptos clave
Preguntas que la gente también hace
¿Cómo se calcula la desviación estándar paso a paso?
¿Cuál es la diferencia entre rango y desviación estándar?
¿Qué indica una desviación estándar alta en un conjunto de datos?
- • Media aritmética
- • Sumatoria
- • Raíz cuadrada
- • Operaciones con números decimales
📝 Transcripción de la página (texto seleccionable) 1707 caracteres
Interpretación de la variación de datos
Las tendencias de los datos de un conjunto se identifican a partir de sus variaciones y sus valores representativos. La variación de los datos se refere a las diferencias y cambios entre éstos. Se representan a través de las medidas de tendencia central (media aritmética, moda y mediana), así como de las medidas de dispersión (desviación estándar y rango).
Ejemplo 1
En un conjunto de datos puede o no haber variación, pero, de haberla, puede ser poca o mucha. Los siguientes son ejemplos alusivos a cada uno de los tipos de dispersión.
En el grupo A, los datos no tienen variación; en el grupo B, la variación de los datos es poca; y en el grupo C, existe mucha variación entre los datos.
La dispersión en los datos se mide por su rango o la desviación estándar; esta última se entiende como la variación o dispersión entre los datos individuales y la media aritmetica.
Para denotar estas medidas se usa R para rango, S para la desviación estándar (que es la raiz cuadrada de la varianza, representada como S2) y x para la media aritmética. Después se calculan de la siguiente manera:
R=V_{\mathrm{mix}}-V_{\mathrm{min}}\mathrm{y}S^{2}=\sum_{i=1}^{n}\frac{\left(x_{i}-\bar{x}\right)^{2}}{(n-1)},\mathrm{d}\mathrm{d}\mathrm{d}\mathrm{e}\bar{x}=\sum_{i=1}^{n}\frac{x_{i}}{n}.
93
Grupo
| A | B | |
| La edad de 5 estudiantes de un grupo de segundo grado de secundaria | La edad de 5 atletas de un colegio | La edad de 5 personas en un autobús |
| 12,12, 12, 12, 12 | 12,13,12,14,13 | 15,27,43,70,67 |
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