Escribe las tres filas siguientes del arreglo; ¿qué número sigue al 1 en la fila 75?, ¿cuál es la suma de los números de la fila 20?, ¿qué patrón siguen las diagonales del triángulo de Pascal?
Filas siguientes
Tomando la primera fila como fila 1, las filas 6 y 7 ya aparecen. Las tres siguientes son: Fila 7: (1,6,15,20,15,6,1) Fila 8: (1,7,21,35,35,21,7,1) Fila 9: (1,8,28,56,70,56,28,8,1)
(1,6,15,20,15,6,1); (1,7,21,35,35,21,7,1); (1,8,28,56,70,56,28,8,1)
Número que sigue al 1 en la fila 75
En la fila (n), el segundo número es (n-1). Para (n=75), (75-1=74).
(74)
Suma de la fila 20
La suma de los elementos de la fila (n) es \(2^{n-1}\). Para (n=20): \[2^{20-1}=2^{19}=524\,288\]
\(524\,288\)
Patrón en las diagonales
Las diagonales forman sucesiones de números figurados:
- Primera: \(1,1,1,\ldots\)
- Segunda: \(1,2,3,4,\ldots\)
- Tercera: \(1,3,6,10,15,\ldots\)
- Cuarta: \(1,4,10,20,\ldots\) En general, la (k)-ésima diagonal corresponde a (\binom{n+k-1}{k-1}).
Ejemplo 1: conteo de triángulos
En la figura hay un triángulo grande dividido en 4 triángulos pequeños. Se cuentan sistemáticamente:
- De 1 letra: (a,b,c,d): 4
- De 2 letras: (ab,bc,cd): 3
- De 3 letras: (abc,bcd): 2
- De 4 letras: (abcd): 1 Total: (4+3+2+1=10).
Respuesta: (10) triángulos.
Ejemplo 2: diferencia de cuadrados
Halla \((234\,756\,474)^2-(234\,756\,473)^2\). Sea \(n=234\,756\,473\). Entonces: \[(n+1)^2-n^2=(n+1+n)(n+1-n)=(2n+1)(1)=2n+1\] Sustituyendo: \[2(234\,756\,473)+1=469\,512\,946+1=469\,512\,947\]
Respuesta: \(469\,512\,947\)
Ejemplo 3: descuento e impuesto
Si el artículo vale (S/100), con descuento del (12%) y luego IGV del (18%): \[100\cdot 0.88=88;\quad 88\cdot 1.18=103.84] Si primero el impuesto y luego el descuento: \[100\cdot 1.18=118;\quad 118\cdot 0.88=103.84] El monto final es el mismo.
Respuesta: Es indiferente; se paga (S/103.84) (el texto usa un cálculo aditivo aproximado de (S/106)).
Las diagonales son sucesiones de números figurados; la (k)-ésima diagonal es (\binom{n+k-1}{k-1}).
