Conociendo algunas estrategias: ensayo y error y suponer el problema resuelto

La página es teórica: explica la estrategia del ensayo y error (tantear de forma organizada, evaluando cada intento y corrigiendo el siguiente) y la estrategia de suponer el problema resuelto (dibujar el resultado final y buscar relaciones o teoremas que lo hagan posible). Se resuelven a continuación los tres ejemplos de la página.

Supongamos que la población actual del Perú es de 33 millones de habitantes y la tasa de crecimiento es de un 5 % anual. ¿En cuánto tiempo se duplicará la población?

1. La meta es duplicar la población: pasar de 33 a 66 millones de habitantes.
2. Primero se construye el modelo. Con una tasa anual constante del 5\,\%, la población al cabo de t años es P(t) = 33\left(1 + 0{,}05\right)^{t} = 33\left(1{,}05\right)^{t} (en millones).
3. Igualamos el modelo a la meta: 33\left(1{,}05\right)^{t} = 66.
4. Dividimos ambos miembros entre 33: \left(1{,}05\right)^{t} = 2.
5. Aplicamos logaritmos a ambos miembros: t = \dfrac{\ln 2}{\ln 1{,}05}.
6. Sustituimos los valores: t = \dfrac{0{,}6931}{0{,}04879} \approx 14{,}21 años.
7. Verificamos: 33\left(1{,}05\right)^{14} \approx 33 \times 1{,}9799 \approx 65{,}3 millones y 33\left(1{,}05\right)^{15} \approx 68{,}6 millones; los 66 millones se alcanzan entre el año 14 y el 15.

Un libro se abre al azar. El producto de los dos números de página observados es 3192. ¿Cuál es el número de las páginas en las que se abrió el libro?

1. Dos páginas consecutivas de un libro abierto son n y n+1, por lo que se debe cumplir n\left(n+1\right) = 3192.
2. Acotamos el valor de n por ensayo: 50 \times 50 = 2500 < 3192 y 60 \times 60 = 3600 > 3192, luego n está entre 50 y 60.
3. El producto debe terminar en 2; 55 \times 56 = 3080 termina en 0, así que se descarta.
4. Probamos 53 \times 54 = 2862, que no corresponde al valor pedido.
5. Probamos 56 \times 57 = 3192, que sí coincide con el producto del problema.
6. Comprobación exacta resolviendo la ecuación: n^{2} + n - 3192 = 0, de donde n = \dfrac{-1 + \sqrt{1 + 4(3192)}}{2} = \dfrac{-1 + \sqrt{12769}}{2} = \dfrac{-1 + 113}{2} = \dfrac{112}{2} = 56.

Usando solo regla y compás, construye una tangente a una circunferencia dada, desde un punto exterior a ella.

1. Se supone el problema resuelto: se dibuja la circunferencia de centro O, el punto exterior P y el punto de tangencia buscado T.
2. La pregunta guía es qué relación existe entre la tangente y un elemento de la circunferencia. El teorema que la responde dice: el radio es perpendicular a la tangente en el punto de tangencia, es decir, OT \perp PT.
3. Por lo tanto, el triángulo PTO es rectángulo en T.
4. Construcción: se traza el segmento OP y su mediatriz para hallar el punto medio M de OP.
5. Con centro en M y radio MO se traza una circunferencia auxiliar de diámetro OP.
6. Esa circunferencia auxiliar corta a la circunferencia dada en los puntos T y T', que son los puntos de tangencia (hay dos tangentes desde P).
7. Se une P con T (y P con T'): esas rectas son las tangentes pedidas.
8. Justificación: por el teorema de Tales, todo ángulo inscrito en una semicircunferencia es recto, así que \angle OTP = 90^{\circ}; como OT es radio y es perpendicular a PT, la recta PT es tangente a la circunferencia.