Puntualidad en la llegada al colegio: percentiles y deciles para datos agrupados

Situación

En una IE secundaria se registró el tiempo (min) que emplean 65 estudiantes en llegar al colegio. Se pide: a) ¿Cuántos minutos como máximo demora el 35 % de los estudiantes? b) ¿Cuál es el tiempo máximo para ubicarse dentro del 60 % de la muestra?

Tabla de frecuencias

¿Cuántos minutos como máximo demora el 35 % de los estudiantes en llegar a la escuela?

1. Calculo la posición del percentil 35 para N=65:

P_k=\frac{k}{100}\cdot N \Rightarrow P_{35}=\frac{35}{100}\cdot 65 = 22{,}75

2. Ubico 22,75 en la columna F_i. Como 18 < 22{,}75 \le 34, la posición cae en el intervalo [70;80\rangle, donde Li=70, F_{i-1}=18, f_i=16 y A=10.

3. Aplico la fórmula del percentil para datos agrupados:

P_k=Li+\left(\frac{\frac{k}{100}\cdot N-F_{i-1}}{f_i}\right)A

P_{35}=70+\left(\frac{22{,}75-18}{16}\right)10

4. Opero la fracción y multiplico por la amplitud:

P_{35}=70+(0{,}296875)(10)=70+2{,}96875

P_{35}=72{,}97\approx 73 \text{ min}

¿Cuál es el tiempo máximo de llegada para que un estudiante se ubique dentro del 60 % de la muestra?

1. El 60 % de la muestra corresponde al decil 6 (k=6). Hallo su posición:

D_k=\frac{k}{10}\cdot N \Rightarrow D_{6}=\frac{6}{10}\cdot 65 = 39

2. Ubico 39 en la columna F_i. Como 34 < 39 \le 48, cae en el intervalo [80;90\rangle, con Li=80, F_{i-1}=34, f_i=14 y A=10.

3. Aplico la fórmula del decil:

D_k=Li+\left(\frac{\frac{k}{10}\cdot N-F_{i-1}}{f_i}\right)A

D_{6}=80+\left(\frac{39-34}{14}\right)10

4. Opero:

D_{6}=80+(0{,}357142)(10)=80+3{,}5714

D_{6}=83{,}57\approx 84 \text{ min}

Comprobación del decil 4 (dato de la página)

D_{4}=\frac{4}{10}\cdot 65=26 \Rightarrow \text{intervalo }[70;80\rangle

D_{4}=70+\left(\frac{26-18}{16}\right)10=70+5=75 \text{ min}

Coincide con el valor de la página: el 40 % de los estudiantes demora como máximo 75 minutos.

Interpretación: como P_{35}\approx 73 min y D_6\approx 84 min, la mayoría de estudiantes vive relativamente cerca del colegio; solo el 40 % tarda más de 84 minutos.