Compra de yenes: comparación de tasas de cambio y propiedades algebraicas

Carla necesita 10 000 yenes para cubrir costos en Japón. Determina qué casa de cambio es más favorable y cuánto ahorra.

1. Tasas de venta publicadas:
   • El Porvenir: 0{,}026 soles por yen.
   • Money: 0{,}025 soles por yen.
2. Diferencia entre tasas (conviene restar la mayor menos la menor): \Delta = 0{,}026 - 0{,}025 = 0{,}001 \; \text{soles por yen}
3. Interpretación: Money cobra 0{,}001 soles menos por cada yen, por lo que es la casa más barata.
4. Costo total en El Porvenir (tasa \times cantidad): \text{Total} = 10\,000 \times 0{,}026 = 260 \Rightarrow \text{S/}\,260
5. Costo total en Money: \text{Total} = 10\,000 \times 0{,}025 = 250 \Rightarrow \text{S/}\,250
6. Ahorro al elegir Money: 260 - 250 = 10 \Rightarrow \text{S/}\,10
7. Verificación porcentual del ahorro respecto al costo mayor: \frac{10}{260} \times 100 \approx 3{,}85\,\%

Luis afirma que usó la propiedad distributiva y la asociativa; verifica si su justificación es correcta.

1. La expresión usada es \text{Total} = \text{Tasa} \times \text{Cantidad}, es decir, un producto de un factor constante por una cantidad.
2. Si se compraran yenes en dos operaciones parciales a y b a la misma tasa t, se cumple: t \times (a + b) = t \times a + t \times b que es exactamente la propiedad distributiva del producto respecto a la suma. Esto justifica multiplicar la tasa por cada monto parcial y luego sumar.
3. La propiedad asociativa permite agrupar los productos sin alterar el resultado: (10\,000 \times 0{,}026) = (10\,000 \times 26) \times 0{,}001 es decir, trabajar con números enteros y reubicar el factor decimal para simplificar la operación.
4. Verificación numérica de la asociatividad: (10\,000 \times 26) \times 0{,}001 = 260\,000 \times 0{,}001 = 260

Ana señala que una diferencia de 0{,}001 soles parece mínima, pero se vuelve significativa en montos grandes. Comprueba con dos escalas.

1. Para 1\,000 unidades monetarias: 1\,000 \times 0{,}001 = 1 La diferencia es de solo S/ 1.
2. Para 10\,000 yenes: 10\,000 \times 0{,}001 = 10 La diferencia asciende a S/ 10.
3. Para 100\,000 yenes: 100\,000 \times 0{,}001 = 100 La diferencia llega a S/ 100.