Resuelve problemas de regularidad, equivalencia y cambio: cajas de chocotejas

Situación: cajas de cartón para chocotejas

Se parte de una lámina cuadrada de cartón de 10\,\text{cm} de lado a la que se recortan cuadrados iguales de lado x en las cuatro esquinas y se dobla para formar una caja sin tapa.

1. Al recortar cuadrados de lado x en cada esquina, la base de la caja queda de lado 10 - 2x y la altura es x.
2. Como las medidas deben ser positivas: x > 0 y 10 - 2x > 0, es decir x < 5.
3. Por lo tanto, los posibles recortes (y por tanto los posibles tamaños de caja) son todos los valores 0 < x < 5\,\text{cm}.
4. Algunos tamaños posibles, en centímetros, son:

1. Se modela el volumen de la caja:

V(x) = x\,(10-2x)^{2}

2. Se desarrolla el binomio:

V(x)=x\,(100-40x+4x^{2})=4x^{3}-40x^{2}+100x

3. Se deriva e iguala a cero para hallar el máximo:

V'(x)=12x^{2}-80x+100=0

4. Se simplifica dividiendo entre 4:

3x^{2}-20x+25=0

5. Se resuelve con la fórmula general (a=3, b=-20, c=25):

x=\frac{20\pm\sqrt{400-300}}{6}=\frac{20\pm 10}{6}

x_{1}=5 \qquad x_{2}=\frac{5}{3}\approx 1{,}67

6. El valor x=5 anula la base, así que el máximo está en x=\frac{5}{3}\,\text{cm}.

7. Se calculan las dimensiones y el volumen máximo:

\text{lado de la base}=10-2\left(\tfrac{5}{3}\right)=\frac{20}{3}\approx 6{,}67\,\text{cm}

V_{\max}=\frac{5}{3}\cdot\left(\frac{20}{3}\right)^{2}=\frac{2000}{27}\approx 74{,}07\,\text{cm}^{3}

8. Verificación: se compara con valores cercanos.

V(1{,}6)\approx 1{,}6\,(6{,}8)^{2}=73{,}98\,\text{cm}^{3} < 74{,}07\,\text{cm}^{3}

V(1{,}7)\approx 1{,}7\,(6{,}6)^{2}=74{,}05\,\text{cm}^{3} < 74{,}07\,\text{cm}^{3}

Paso final: reflexión docente

Respuesta orientativa: la competencia no se limita a memorizar fórmulas; exige que el estudiante reconozca patrones, modele la variación (por ejemplo, cómo cambia el volumen al cambiar el recorte) y argumente sus resultados en contextos reales como el emprendimiento de las chocotejas.