Variación del volumen de una caja según la altura

Análisis de la tabla y del modelo del volumen

La página presenta la tabla 2, donde se calcula el volumen de una caja para distintos valores de altura h. La expresión general es V(x)=[10-2x]^2 x. Esta proviene de una lámina cuadrada de 10\,\text{cm} de lado, a la que se recortan cuadrados de lado x en las esquinas y se doblan sus bordes. Así, la base queda de lado 10-2x y la altura es x.

1. Para h=1: V_1=[10-2(1)]^2(1)=8^2(1)=64\,\text{cm}^3.
2. Para h=1,5: V_2=[10-2(1,5)]^2(1,5)=7^2(1,5)=49(1,5)=73,5\,\text{cm}^3.
3. Para h=2: V_3=[10-2(2)]^2(2)=6^2(2)=36(2)=72\,\text{cm}^3.
4. Para h=2,5: V_4=[10-2(2,5)]^2(2,5)=5^2(2,5)=25(2,5)=62,5\,\text{cm}^3.
5. Para h=3: V_5=[10-2(3)]^2(3)=4^2(3)=16(3)=48\,\text{cm}^3.
6. Para h=3,5: V_6=[10-2(3,5)]^2(3,5)=3^2(3,5)=9(3,5)=31,5\,\text{cm}^3.
7. Para h=4: V_7=[10-2(4)]^2(4)=2^2(4)=4(4)=16\,\text{cm}^3.
8. Para h=4,5: V_8=[10-2(4,5)]^2(4,5)=1^2(4,5)=4,5\,\text{cm}^3. La tabla imprime 1; esto parece una errata, porque el cálculo correcto da 4,5.

La función V(x)=x(10-2x)^2 es cúbica. Para encontrar el máximo exacto en el intervalo 0<x<5, se deriva:

V'(x)=(10-2x)^2+x\cdot 2(10-2x)(-2)=(10-2x)[(10-2x)-4x]=(10-2x)(10-6x).

Se iguala a cero: 10-2x=0 da x=5; 10-6x=0 da x=\frac{5}{3}\approx 1,67\,\text{cm}. El máximo está en x=\frac{5}{3}.

V_{\max}=\left[10-2\left(\frac{5}{3}\right)\right]^2\left(\frac{5}{3}\right)=\left(\frac{20}{3}\right)^2\left(\frac{5}{3}\right)=\frac{400}{9}\cdot\frac{5}{3}=\frac{2000}{27}\approx 74,07\,\text{cm}^3.

Respuesta orientativa: La tabla muestra un máximo aproximado de 73,5\,\text{cm}^3 a 1,5\,\text{cm} de altura. El máximo exacto se alcanza en x=\frac{5}{3}\,\text{cm}\approx 1,67\,\text{cm}, con V=\frac{2000}{27}\,\text{cm}^3\approx 74,07\,\text{cm}^3. Además, el valor de la fila h=4,5 debería ser 4,5\,\text{cm}^3, no 1.