Ejercicios 7-10: Proporcionalidad, mezclas y funciones exponenciales

Un comerciante tiene dos tipos de vino:

Si se mezclan uniformemente, ¿cuánto costará 1 litro de la mezcla?

Resolución — Promedio ponderado:

1. Calcular costo total de cada tipo:
   • Tipo 1: 18 \times 12 = 216 soles
   • Tipo 2: 6 \times 15 = 90 soles
2. Calcular litros totales: 18 + 6 = 24 litros
3. Precio de mezcla por litro:

P_m = \frac{18 \times 12 + 6 \times 15}{18 + 6} = \frac{216 + 90}{24} = \frac{306}{24} = 12{,}75

Con 18 obreros se hace una obra en 40 días. ¿En cuántos días la realizarían 10 obreros que son el cuádruple de hábiles?

Opciones: a) 20 días b) 18 días c) 10 días d) 15 días

Resolución:

1. Total de trabajo (obreros-día): 18 \times 40 = 720 obreros-día
2. Los 10 nuevos obreros son 4× más hábiles → capacidad efectiva: 10 \times 4 = 40 obreros equivalentes
3. Días necesarios:

d = \frac{720}{40} = 18 \text{ días}

Receta para 100 ml de aderezo:

¿Cuántos ml de aceite y vinagre en total se necesitan para preparar 150 ml de aderezo?

Opciones: a) 45 ml b) 90 ml c) 135 ml d) 150 ml

Resolución:

1. Factor de escala: \frac{150}{100} = 1{,}5
2. Aceite necesario: 60 \times 1{,}5 = 90 ml
3. Vinagre necesario: 30 \times 1{,}5 = 45 ml
4. Total aceite + vinagre:

90 + 45 = 135 \text{ ml}

Un hombre recibe 300 mg de penicilina a las 8:00 a.m. Cada hora queda activo solo el 60 % de lo anterior. ¿Cuánto le queda activo a las 10:00 a.m.?

Resolución — Decrecimiento exponencial:

1. A las 8:00 a.m.: 300 mg
2. A las 9:00 a.m.:

300 \times \frac{60}{100} = 300 \times 0{,}6 = 180 \text{ mg}

3. A las 10:00 a.m.:

180 \times \frac{60}{100} = 180 \times 0{,}6 = 108 \text{ mg}

Fórmula general: Q(t) = 300 \times (0{,}6)^t donde t = horas transcurridas.

Para t = 2: Q(2) = 300 \times 0{,}36 = 108 mg