Problemas 8–10: Fracciones, potencias racionales e inecuaciones lineales

Sea x la longitud original del cordel.

Distribución del cordel:

1. La madre tomó la mitad: queda \dfrac{x}{2}
2. Tom llevó la mitad de lo que quedó: queda \dfrac{x}{2} - \dfrac{x}{4} = \dfrac{x}{4}
3. Papá cogió la mitad de lo restante: queda \dfrac{x}{4} - \dfrac{x}{8} = \dfrac{x}{8}
4. María necesitó \dfrac{2}{5} del resto: queda \dfrac{x}{8} - \dfrac{2}{5} \cdot \dfrac{x}{8} = \dfrac{3}{5} \cdot \dfrac{x}{8} = \dfrac{3x}{40}
5. Al final solo quedaron 30 cm:

\frac{3x}{40} = 30

x = 30 \times \frac{40}{3} = 400 \text{ cm}

Respuesta: c) 400 cm

Analizamos cada afirmación:

I. \forall a \in \mathbb{Q}, se tiene (a^2)^{\frac{1}{2}} = a

(a^2)^{1/2} = |a|, que es igual a a solo si a \geq 0. Para a = -3 \in \mathbb{Q}: ((-3)^2)^{1/2} = 3 \neq -3. I es FALSA.

II. \forall a \in \mathbb{Q},\ \forall r \in \mathbb{R}, existe a^r

Para a = -2 \in \mathbb{Q} y r = \frac{1}{2} \in \mathbb{R}: (-2)^{1/2} = \sqrt{-2} no es real. II es FALSA.

III. Si a \in \mathbb{Q} y \forall r \in \mathbb{R} existe a^r, entonces existe r^a

La premisa requiere a > 0 (para que a^r exista \forall r \in \mathbb{R}). Pero r^a con r < 0 y a racional puede ser indefinido (e.g., r = -1,\ a = 1/2: (-1)^{1/2} no es real). III es FALSA.

Respuesta: a) I, II y III son falsas

Sea x = kilómetros recorridos por semana.

Plan 1: S/\,180 (kilometraje ilimitado)

Plan 2: S/\,120 + 0{,}25x (soles por km)

Buscamos cuándo el Plan 2 es más barato que el Plan 1:

120 + 0{,}25x < 180

Convirtiendo a centavos (S/\,1 = 100 centavos):

12\,000 + 25x < 18\,000

25x < 6\,000

x < 240 \text{ km}

Criterios de evaluación (rúbrica docente):

• Respuesta adecuada: Plantea correctamente 18\,000 > 12\,000 + 25x, obtiene x < 240 km.
• Respuesta parcial: Cálculos adecuados pero con error operativo.
• Respuesta inadecuada: No responde a la situación propuesta.