Ejercicios 5–8: trigonometría, geometría y orientación espacial en contextos peruanos

Un equipo de excavación descubre que entre los puntos A y C pasa un canal subterráneo. BC = 400 m, ∠CBA = 90°, tan(∠ACB) = 0,75. Calcular la longitud AC.

1. El ángulo recto está en B, así que el triángulo ABC es rectángulo en B.
2. El ángulo en C está formado por AC y BC, entonces: \tan(\angle ACB) = \dfrac{AB}{BC}
3. AB = BC \cdot \tan(\angle ACB) = 400 \times 0{,}75 = 300 \text{ m}
4. Aplicando Pitágoras: AC = \sqrt{AB^2 + BC^2} = \sqrt{300^2 + 400^2} = \sqrt{90\,000 + 160\,000} = \sqrt{250\,000}
5. AC = 500 \text{ m}

Usando el plano del Centro Arqueológico Chavín de Huántar (escala 0–50 metros), determinar el perímetro y área de la plaza rectangular hundida.

1. Del plano con escala gráfica se estima que la plaza rectangular hundida mide aproximadamente 50 m × 50 m.
2. Perímetro = 4 \times 50 = 200 \text{ m}
3. Área = 50 \times 50 = 2\,500 \text{ m}^2

Según el mapa adjunto, ¿en qué dirección desde el Cusco se encuentra Chinchero?

• Del mapa se observa que Chinchero está ubicado al norte del Cusco.
• Respuesta adecuada: "Según el mapa, Chinchero se encuentra al norte del Cusco."
• Respuesta parcial válida: "noroeste del Cusco".

Una persona parada a 1 m del borde de un pozo, con los ojos a 1,80 m de altura, ve en línea recta los puntos A (borde próximo del pozo, al ras del suelo) y B (fondo del lado opuesto). El pozo tiene 3 m de ancho. Calcular la profundidad.

1. Sistema de coordenadas: origen en el borde próximo del pozo al nivel del suelo.
   • Ojo: (-1;\; 1{,}80)
   • A (borde próximo, nivel suelo): (0;\; 0)
   • B (fondo, pared opuesta): (3;\; -d)
2. Los tres puntos son colineales. Vector ojo→A: (1;\; -1{,}80).
3. Parametrizando la recta: x = -1 + t, y = 1{,}80 - 1{,}80t
4. En x = 3: t = 4, entonces y = 1{,}80 - 1{,}80 \times 4 = 1{,}80 - 7{,}20 = -5{,}40
5. La profundidad del pozo es d = 5{,}40 \text{ m}.

Verificación: \dfrac{1{,}80}{1} = \dfrac{1{,}80 + d}{1 + 3} \Rightarrow 1{,}80 \times 4 = 1{,}80 + d \Rightarrow d = 7{,}20 - 1{,}80 = 5{,}40 \text{ m} ✓