El triángulo dentro del rectángulo: ¡su área es la mitad!

Paso 1

Dibujen en una hoja cuadriculada un triángulo y completen un rectángulo de tal manera que el triángulo quede dentro, como en la figura.

Respuesta orientativa: se traza el triángulo apoyado en el borde inferior del rectángulo, con el vértice superior sobre el borde superior; así el triángulo y el rectángulo comparten la base b y la altura h.

Paso 2

Calculen en \text{cm}^{2} el área aproximada del triángulo y el área del rectángulo. Observen cuidadosamente el dibujo.

1. Área del rectángulo: cuento los cuadrados de 1 \, \text{cm}^{2} o multiplico base por altura. Por ejemplo, si el rectángulo mide 10 \, \text{cm} de base y 4 \, \text{cm} de altura: 10 \times 4 = 40 \, \text{cm}^{2}.
2. Área del triángulo: cuento los cuadrados completos (unos 20 en el ejemplo) y reacomodo los pedazos del borde, como en la página anterior.
3. En el ejemplo, el triángulo cubre aproximadamente 20 \, \text{cm}^{2}.

Respuesta orientativa: área del rectángulo 40 \, \text{cm}^{2} y área del triángulo aproximadamente 20 \, \text{cm}^{2}.

Paso 3

¿Creen ustedes que hay alguna relación entre estas dos áreas? Exprésenla y comenten sus opiniones.

Respuesta orientativa: al comparar, el área del triángulo parece ser la mitad del área del rectángulo, porque los cuadrados de la mitad superior del rectángulo quedan cubiertos solo por pedazos que, al juntarse, llenan exactamente la otra mitad.

Paso 4

Recorten el rectángulo y después recorten el triángulo.

Respuesta orientativa: al quitar el triángulo del rectángulo quedan dos pedazos (dos triángulos con un lado escalonado); el rectángulo se transformó en dos triángulos de igual área.

Paso 5

Con los dos pedazos traten de recubrir el triángulo. ¿Qué observan?

Respuesta orientativa: los dos pedazos, reacomodados, cubren exactamente el triángulo sin que sobre ni falte superficie. Es decir, los dos pedazos juntos tienen la misma área que el triángulo, y como antes formaban el rectángulo completo, el triángulo ocupa la mitad del rectángulo.

Conclusión

El rectángulo se transformó en dos triángulos de igual área. ¡El área del triángulo es la mitad del área del rectángulo!

\text{Área del triángulo} = \frac{\text{base} \times \text{altura}}{2}

En el ejemplo: \frac{10 \times 4}{2} = \frac{40}{2} = 20 \, \text{cm}^{2}.

¿Estuvieron sus opiniones cercanas a este hecho?

Respuesta orientativa: sí: la intuición del Paso 3 (el triángulo es la mitad del rectángulo) coincide con lo que muestra el recorte y el recubrimiento. Si la opinión fue distinta (por ejemplo 'un poco menos de la mitad'), el experimento sirve para corregirla y comprender de dónde sale la fórmula \frac{b \times h}{2}.