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Monotonía de funciones reales

📄 teoria Matemática 🎓 secundaria · 10° EGB Ecuador 🇪🇨 EC 🗣 Español

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Respuesta rápida

La función es $y=2x$ . Si el costo es de $20$ dólares, el cliente puede hablar hasta $10$ minutos. Para $f(x)=2x$ , el dominio y el recorrido son $\mathbb{R}$ .

📚 theory Matemática ⭐⭐ Dificultad 2/5 ⏱ 5 min lectura

Solución — Página 104

Matematica 10° · Egb 10 Matematica 2025 · 2025

Conceptos principales

Una función real asigna a cada número real del dominio un único número real del recorrido. Se representa como $f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}$ .

Variable independiente $x$ : pertenece al dominio y puede tomar los valores de entrada.
Variable dependiente $y=f(x)$ : es el valor que se obtiene al aplicar la función a $x$ .
Dominio: conjunto de valores que puede tomar $x$ .
Recorrido: conjunto de valores que toma $y$ .

Situación de la empresa telefónica

La relación entre el tiempo de la llamada y su costo está dada por:

$y-2x=0$

Despejamos $y$ :

$y=2x$

Si el cliente dispone de $20$ dólares, sustituimos $y=20$ :

$20=2x$

$x=\frac{20}{2}=10$

Por lo tanto, el cliente puede hablar hasta $10$ minutos.

La tabla de valores de $y=2x$ muestra, por ejemplo:

$x$	$y=2x$	$y$
$2$	$2(2)$	$4$
$4$	$2(4)$	$8$
$6$	$2(6)$	$12$
$8$	$2(8)$	$16$
$10$	$2(10)$	$20$
$12$	$2(12)$	$24$

Como a cada valor de $x$ le corresponde un único valor de $y$ , se trata de una función. Para $f(x)=2x$ , el dominio y el recorrido son los números reales:

$\operatorname{Dom}(f)=\mathbb{R},\qquad \operatorname{Rec}(f)=\mathbb{R}$

La gráfica de $y=2x$ es una recta que pasa por el origen y es creciente.

También se presentan otras funciones reales, cuyo dominio debe analizarse antes de construir una tabla y representarlas:

$f(x)=x^2+2x-1$

$y=\sqrt{8-2x}$

$y=\frac{x+2}{x}$

Contenido de la página

Función real

Una función real hace corresponder a cada número real otro número real, y se expresa como $f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}$ .

Elementos de una función

$x$ es la variable independiente y pertenece al dominio.
$y=f(x)$ es la variable dependiente o imagen.
El dominio es el conjunto de valores de entrada.
El recorrido es el conjunto de valores de salida.

Ejemplo de aplicación

La ecuación $y-2x=0$ equivale a $y=2x$ . Si el costo es de $20$ dólares, entonces $20=2x$ , por lo que $x=10$ minutos.

La función $f(x)=2x$ tiene dominio y recorrido iguales a $\mathbb{R}$ y su representación gráfica es una recta creciente que pasa por el origen.

Ejemplos resueltos

Una empresa cobra según la función $y-2x=0$ . ¿Cuántos minutos puede hablar un cliente si dispone de $20$ dólares?

Despejamos: $y=2x$ . Como $y=20$ , tenemos $20=2x$ . Entonces $x=\frac{20}{2}=10$ . El cliente puede hablar hasta $10$ minutos.

Tabla

$x$	$y=2x$	$y$
$2$	$2(2)$	$4$
$4$	$2(4)$	$8$
$6$	$2(6)$	$12$
$8$	$2(8)$	$16$
$10$	$2(10)$	$20$
$12$	$2(12)$	$24$

Fórmulas y ecuaciones

$y=2x$

$\operatorname{Dom}(f)=\mathbb{R}$

$\operatorname{Rec}(f)=\mathbb{R}$

f: $\mathbb{R}@@MATH_0@@\mathbb{R}$

y-2x=0

y=2x

f(x)=2x

$\operatorname{Dom}$ (f)= $\mathbb{R}$

$\operatorname{Rec}$ (f)= $\mathbb{R}$

$f(x)=x^2+2x-1$

y= $\sqrt{8-2x}$

y= $\frac{x+2}{x}$

Glosario (5)

Función real: Relación que asigna a cada número real del dominio un único número real.
Dominio: Conjunto de valores que puede tomar la variable independiente $x$.
Recorrido: Conjunto de valores que toma la variable dependiente $y$; también se llama imagen, codominio o rango.
Variable independiente: Variable de entrada, representada generalmente por $x$.
Variable dependiente: Variable de salida, representada por $y=f(x)$, cuyo valor depende de $x$.

Preguntas para practicar

¿Cuál es el conjunto de los números reales?

Temas y conceptos clave

Funciones realesDominio y recorridoVariables independiente y dependienteTabla y gráfica de una función linealFunción realDominioRecorridoVariable independienteVariable dependienteFunción creciente

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Preguntas que la gente también hace

¿Qué es una función real y cómo se representa?

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¿Cómo se determina el dominio y el recorrido de una función?

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¿Cómo resolver problemas usando la función $y=2x$?

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📌 Antes de leer esto

• Conocer los números reales
• Resolver ecuaciones lineales sencillas
• Interpretar tablas y coordenadas cartesianas

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Si el dominio y recorrido son el conjunto de números reales, entonces es una función real.

x: es la variable independiente que pertenece al dominio de la función.

y =f(x): es la variable dependiente, imagen de x. Es un número real que se obtiene al aplicar la función sobre el elemento x.

Dominio: es el conjunto de valores que puede tomar la variable independiente (x).

Recorrido: llamado también imagen, codominio o rango es el conjunto de valores que toma la variable dependiente (y).

Monotonía de funciones reales

Reflexiona. ¿Cuál es el conjunto de los números reales?

Recordemos que una función real es una función matemática que hace corresponder a cada número real otro número real f: RAR

Una empresa de telefonía cobra a sus clientes solo por el tiempo que tarda en comunicarse. La relación entre el tiempo que se demora una llamada y el costo por llamada está dada por la función f(x): y - 2x = 0. ¿Cuántos minutos puede hablar un cliente si dispone de $ 20?

Para resolver la situación anterior, realizamos una tabla de valores y graficamos la función.

y : yeu 2 y=202) | 4 - 4 y=2(4) 8 sos 6 | y=26) | 12 d--8 8 y=2(8) 16 4 [258210 y=2(10)| 20 | 2 12 y=212)| 24 A RR SA Tiempo

Como se observa en la tabla de valores, a cada valor de x le corresponde un solo valor real de y.

El dominio y el recorrido de la función, f(x) = 2x es: Domf()=R Rec f(x) =R

Entonces, el dominio y recorrido de la función es el conjunto de los números reales. Por lo tanto, es una función real.

Solución

El cliente puede hablar hasta 10 minutos.

Otras funciones reales, escritas por medio de una fórmula son: 2

Por ejemplo: f(x) =x?+2x-1, y=V8-2x; y ate

En cuyo caso se debe analizar el dominio para elaborar una tabla de valores y representarlas.

M.4.1.48. Reconocer funciones crecientes y decrecientes a partir de su representación gráfica o tabla de valores. M.4.1,49. Definir y reconocer una función real identificando sus características: dominio, recorrido, monotonía, cortes con los ejes.

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