Escribe los intervalos donde las funciones de las gráficas son crecientes o decrecientes.

a) C: (-,-1)(2,), D: (-1,2). b) C: (2,4)(5,9)(10,11)(15,16), D: (1,2)(4,5)(9,10)(11,15)(16,20).

Identifica el dominio, recorrido, monotonía y cortes con los ejes de y=x+1-2.

D_f=[-1,), Rec_f=[-2,), creciente; A=(3,0), C=(0,-1).

Determina el dominio, recorrido e intervalos crecientes y decrecientes de cada gráfica.

7a) D_f=R, Rec_f=[0,), D: (-,0), C: (0,). 7b) D_f=R, Rec_f=R, D: R.

Analiza la gráfica de ventas mensuales y determina el dominio, recorrido e intervalos de aumento y disminución.

D_f=[1,8], Rec_f=[1,6]. Aumenta en [1,2][3,4][6,8]; disminuye en [2,3][4,6].

Indaga cuándo una función no es real y escribe dos ejemplos.

-1R; (-2) no está definido en R.

Indaga de cuántas formas se puede representar una función.

Cuatro formas: verbal, tabular, gráfica y algebraica.

Libro de Matemática 10 EGB

Ministerio de Educación del Ecuador

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Características y representación de funciones

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Respuesta rápida

5a. Creciente: $(-\infty,-1)\cup(2,\infty)$ ; decreciente: $(-1,2)$ . 5b. Creciente: $(2,4)\cup(5,9)\cup(10,11)\cup(15,16)$ ; decreciente: $(1,2)\cup(4,5)\cup(9,10)\cup(11,15)\cup(16,20)$ . 6. $D_f=[-1,\infty)$ , $Rec_f=[-2,\infty)$ , creciente, cortes $(3,0)$ y $(0,-1)$ . 7a. $D_f=\mathbb{R}$ , $Rec_f=[0,\infty)$ ; decrece en $(-\infty,0)$ y crece en $(0,\infty)$ . 7b. $D_f=\mathbb{R}$ , $Rec_f=\mathbb{R}$ ; decreciente en todo $\mathbb{R}$ . 8. Dominio $[1,8]$ , recorrido $[1,6]$ ; aumenta en $[1,2]$ , $[3,4]$ , $[6,8]$ y disminuye en $[2,3]$ , $[4,6]$ . 9. Ejemplos: $\sqrt{-1}$ y $\log(-2)$ . 10. La recta vertical no es función. Una función se representa de cuatro formas principales.

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Matematica 10° · Egb 10 Matematica 2025 · 2025

Ejercicio 5

Intervalos de crecimiento y decrecimiento

Parte 5.a

Al observar la gráfica, la función alcanza un máximo local cerca de $x=-1$ y un mínimo local en $x=2$ .

Es creciente antes del máximo y después del mínimo.
Es decreciente entre ambos puntos.

Por tanto:

$\text{Creciente en }(-\infty,-1)\cup(2,\infty)$ $\text{Decreciente en }(-1,2)$

Parte 5.b

Según la gráfica de precio frente al tiempo:

$\text{Creciente en }(2,4)\cup(5,9)\cup(10,11)\cup(15,16)$ $\text{Decreciente en }(1,2)\cup(4,5)\cup(9,10)\cup(11,15)\cup(16,20)$

Ejercicio 6

Función $y=\sqrt{x+1}-2$

Para que exista la raíz cuadrada se requiere:

$x+1\geq 0$ $x\geq -1$

Así, el dominio es $[-1,\infty)$ .

Como $\sqrt{x+1}\geq 0$ , se cumple:

$y=\sqrt{x+1}-2\geq -2$

Por tanto, el recorrido es $[-2,\infty)$ . La función es creciente porque la función raíz cuadrada es creciente.

Corte con el eje $x$ :

$0=\sqrt{x+1}-2$ $\sqrt{x+1}=2$ $x+1=4$ $x=3$

El corte es $A=(3,0)$ .

Corte con el eje $y$ :

$y=\sqrt{0+1}-2=1-2=-1$

El corte es $C=(0,-1)$ .

Ejercicio 7

Dominio, recorrido y monotonía

Parte 7.a

La gráfica representa $y=|x|$ .

$D_f=(-\infty,\infty)$ $Rec_f=[0,\infty)$

La función es decreciente en $(-\infty,0)$ y creciente en $(0,\infty)$ .

Parte 7.b

La gráfica se extiende hacia ambos lados y presenta un comportamiento descendente en todo su dominio.

$D_f=(-\infty,\infty)$ $Rec_f=(-\infty,\infty)$

Es decreciente en $(-\infty,\infty)$ y no tiene intervalos crecientes.

Ejercicio 8

Ventas mensuales

De la gráfica se identifican los puntos principales:

$A=(1,1),\ B=(2,3),\ C=(3,2),\ D=(4,5),\ E=(5,4),\ F=(6,3),\ G=(8,6)$

Por ello:

$D_f=[1,8]$ $Rec_f=[1,6]$

Las ventas aumentan en $[1,2]$ , $[3,4]$ y $[6,8]$ .

Las ventas disminuyen en $[2,3]$ y $[4,6]$ .

Ejercicio 9

Funciones que no son reales

Una función no es real en los valores de la variable para los cuales alguna operación no está definida dentro de los números reales. Por ejemplo, una raíz cuadrada de un número negativo no es real y el logaritmo de un número menor o igual que cero no está definido en los reales.

Ejercicio 10

Recta paralela al eje de las ordenadas

Una recta paralela al eje de las ordenadas tiene ecuación $x=a$ . No representa una función de $x$ , porque una misma abscisa se relaciona con muchos valores de $y$ . No supera la prueba de la recta vertical.

Ejercicio 10

Formas de representar una función

Una función puede representarse principalmente de cuatro formas: mediante una descripción verbal, una tabla de valores, una gráfica o una fórmula algebraica.

Contenido de la página

Análisis de funciones

Para estudiar una función se pueden determinar su dominio, recorrido, monotonía y cortes con los ejes coordenados. Una función es creciente cuando sus valores aumentan al aumentar $x$ y decreciente cuando sus valores disminuyen.

El dominio contiene los valores permitidos de $x$ y el recorrido contiene los valores obtenidos de $y$ . En una función radical, el radicando debe ser mayor o igual que cero.

Una gráfica paralela al eje de las ordenadas no representa una función de $x$ , porque una misma abscisa tiene varios valores de ordenada.

Ejemplos resueltos

Determinar el dominio, recorrido y cortes con los ejes de $y=\sqrt{x+1}-2$ .

Se exige $x+1\geq 0$ , por lo que $x\geq -1$ y $D_f=[-1,\infty)$ . Como la raíz es no negativa, $y\geq -2$ , entonces $Rec_f=[-2,\infty)$ . El corte con el eje $x$ es $(3,0)$ y el corte con el eje $y$ es $(0,-1)$ .

Fórmulas y ecuaciones

$D_f=[-1,\infty)$ para $y=\sqrt{x+1}-2$

$Rec_f=[-2,\infty)$ para $y=\sqrt{x+1}-2$

$0=\sqrt{x+1}-2\Rightarrow x=3$

y= $\sqrt{x+1}$ -2

$x+1\geq$ 0

y=|x|

x=a

Glosario (5)

Dominio: Conjunto de valores de entrada o valores de $x$ para los cuales está definida una función.
Recorrido: Conjunto de valores de salida o valores de $y$ que toma una función.
Función creciente: Función cuyos valores aumentan cuando aumentan los valores de $x$.
Función decreciente: Función cuyos valores disminuyen cuando aumentan los valores de $x$.
Monotonía: Comportamiento de una función al aumentar la variable independiente.

Preguntas para practicar

¿Por qué una función puede ser creciente en un intervalo y decreciente en otro?

¿Cómo se determina el recorrido observando una gráfica?

¿Qué diferencia existe entre una función y una relación que no es función?

Temas y conceptos clave

Intervalos de crecimiento y decrecimientoDominio y recorridoMonotoníaCortes con los ejesFunciones no realesFormas de representar una funciónDominioRecorridoFunción crecienteFunción decrecienteCorte con el eje de abscisasCorte con el eje de ordenadasPrueba de la recta vertical

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