Observa e interpreta la información de las rampas y responde: a) Para salvar 40 cm con ayudante, ¿qué longitud debe tener la rampa? b) Para salvar 40 cm sin ayudante, ¿qué longitud debe tener? c) Para salvar 20 cm con ayudante, ¿qué ángulo de inclinación debe tener? d) Para salvar 10 cm sin ayudante, ¿qué ángulo de inclinación debe tener?

a) 200 cm; b) 280 cm; c) 11,31^; d) 8,13^.

Para la recta y=2x-3, escribe la pendiente, describe su monotonía, calcula los puntos de corte con los ejes y represéntala gráficamente.

m=2; creciente; cortes: (0,-3) y ≤ft(3/2,0).

Determina si los puntos son colineales: a) (1,-1), (2,5;0,5) y (4,2). b) (-2,7), (-3,9) y (1,-2).

a) Sí son colineales. b) No son colineales.

Traza las rectas y=-4x+12, y=6x, 4x-8y=2 y 4x=6.

y=-4x+12; y=6x; y=1/2x-1/4; x=3/2.

Identifica en los gráficos las rectas con pendiente positiva, pendiente nula, pendiente negativa y pendiente no definida.

Positiva: a); nula: b); negativa: c); no definida: d).

Libro de Matemática 10 EGB

Ministerio de Educación del Ecuador

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Aplicaciones de la pendiente

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a) $200\ \text{cm}$ ; b) $280\ \text{cm}$ ; c) $11,31^\circ$ ; d) $8,13^\circ$ . 10. $m=2$ , creciente, cortes $(0,-3)$ y $\left(\frac{3}{2},0\right)$ . 11. a) F, b) V, c) F. 12. a) Sí; b) No. 13. a) $3,43^\circ$ ; b) $5,71^\circ$ ; c) $11,31^\circ$ . 14. Rectas: $y=-4x+12$ , $y=6x$ , $y=\frac{1}{2}x-\frac{1}{4}$ y $x=\frac{3}{2}$ . 15. Positiva: a; nula: b; negativa: c; no definida: d.

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Solución — Página 111

Matematica 10° · Egb 10 Matematica 2025 · 2025

Ejercicio 1

Resolución

Ejercicio 9

Rampas

La relación recomendada para una rampa con ayudante es $1:5$ , por lo que la longitud horizontal es $5$ veces la altura. Para una rampa sin ayudante es $1:7$ , por lo que la longitud horizontal es $7$ veces la altura.

a) $L=40\times 5=200\ \text{cm}$ .
b) $L=40\times 7=280\ \text{cm}$ .
c) La pendiente es $m=\frac{20}{100}=\frac{1}{5}$ . Entonces, $\tan\theta=\frac{1}{5}$ y $\theta=\arctan\left(\frac{1}{5}\right)\approx 11,31^\circ$ .
d) La pendiente es $m=\frac{10}{70}=\frac{1}{7}$ . Entonces, $\tan\theta=\frac{1}{7}$ y $\theta=\arctan\left(\frac{1}{7}\right)\approx 8,13^\circ$ .

Ejercicio 10

Recta $y=2x-3$

La ecuación está en la forma $y=mx+b$ , donde $m=2$ y $b=-3$ . Como $m>0$ , la recta es creciente.

Corte con el eje $y$ : si $x=0$ , entonces $y=-3$ , por lo que el punto es $(0,-3)$ .
Corte con el eje $x$ : si $y=0$ , entonces $2x-3=0$ , de donde $x=\frac{3}{2}$ ; el punto es $\left(\frac{3}{2},0\right)$ .

Ejercicio 11

Verdadero o falso

Una pendiente positiva indica que la recta sube de izquierda a derecha. Una pendiente nula corresponde a una recta horizontal, paralela al eje $x$ . La pendiente determina el ángulo con el eje $x$ , no con el eje de las ordenadas.

Ejercicio 12

Colinealidad

Para verificar si tres puntos son colineales, se comparan las pendientes entre pares consecutivos.

a) $m_1=\frac{0,5-(-1)}{2,5-1}=1$ y $m_2=\frac{2-0,5}{4-2,5}=1$ . Como las pendientes son iguales, los puntos son colineales.
b) $m_1=\frac{9-7}{-3-(-2)}=-2$ y $m_2=\frac{-2-9}{1-(-3)}=-\frac{11}{4}$ . Como las pendientes son diferentes, los puntos no son colineales.

Ejercicio 13

Ángulo de inclinación

Se usa $m=\frac{p}{100}$ y $\theta=\arctan(m)$ .

a) Para $6\%$ : $m=0,06$ y $\theta=\arctan(0,06)\approx 3,43^\circ$ .
b) Para $10\%$ : $m=0,10$ y $\theta=\arctan(0,10)\approx 5,71^\circ$ .
c) Para $20\%$ : $m=0,20$ y $\theta=\arctan(0,20)\approx 11,31^\circ$ .

Ejercicio 14

Rectas

Se expresan las ecuaciones en forma despejada para reconocerlas y graficarlas.

a) $y=-4x+12$ : pendiente $m=-4$ y corte con el eje $y$ en $(0,12)$ .
b) $y=6x$ : pendiente $m=6$ y pasa por el origen.
c) $4x-8y=2\Rightarrow y=\frac{1}{2}x-\frac{1}{4}$ : pendiente $m=\frac{1}{2}$ .
d) $4x=6\Rightarrow x=\frac{3}{2}$ : es una recta vertical, con pendiente no definida.

Ejercicio 15

Clasificación de las rectas de los gráficos

La recta a) sube de izquierda a derecha; b) es horizontal; c) baja de izquierda a derecha; d) es vertical.

Contenido de la página

Aplicaciones de la pendiente

La pendiente permite comparar la inclinación de rampas y rectas. En una rampa, se calcula como la razón entre la altura que se debe salvar y la distancia horizontal recorrida. En una recta, la pendiente indica si esta crece, decrece, es horizontal o vertical.

Para una recta $y=mx+b$ , $m$ es la pendiente y $b$ es el corte con el eje $y$ . El ángulo de inclinación se obtiene mediante $\theta=\arctan(m)$ .

Una recta con pendiente positiva es creciente; con pendiente negativa es decreciente; con pendiente cero es horizontal; y una recta vertical tiene pendiente no definida.

Ejemplos resueltos

Determinar la longitud de una rampa para salvar una altura de $30\ \text{cm}$ con ayudante.

La razón es $1:5$ . Entonces, $L=30\times 5=150\ \text{cm}$ .

Determinar los cortes con los ejes de la recta $y=2x-3$ .

Con el eje $y$ : $x=0$ , por tanto $(0,-3)$ . Con el eje $x$ : $0=2x-3$ , entonces $x=\frac{3}{2}$ y el punto es $\left(\frac{3}{2},0\right)$ .

Fórmulas y ecuaciones

$L=5h$ para rampas con ayudante

$L=7h$ para rampas sin ayudante

$\theta=\arctan\left(\frac{h}{d}\right)$

$m=\frac{y_2-y_1}{x_2-x_1}$

$y=mx+b$

$\theta=\arctan(m)$

$m=\frac{p}{100}$

Glosario (5)

Pendiente: Razón entre el cambio vertical y el cambio horizontal de una recta.
Monotonía: Comportamiento de una función cuando aumenta, disminuye o permanece constante.
Colineales: Puntos que pertenecen a una misma recta.
Ángulo de inclinación: Ángulo que forma una recta con el eje positivo de las abscisas.
Pendiente no definida: Pendiente de una recta vertical, cuyo cambio horizontal es cero.

Preguntas para practicar

¿Por qué una rampa más larga puede tener menor pendiente?

¿Cómo cambia una recta cuando aumenta el valor absoluto de su pendiente?

Temas y conceptos clave

Aplicaciones de la pendienteRampas de accesoMonotonía de rectasColinealidadÁngulos de inclinaciónRepresentación de rectasPendienteRecta crecienteRecta decrecientePendiente nulaPendiente no definidaColinealidadÁngulo de inclinación

Fuentes y referencias

http://www.mundorampas.com/calcular-rampas.html

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Figuras de la página (2)

Plano cartesiano con la recta $y=2x-3$ y sus puntos de corte. — Figura 2 image

Cuatro gráficos que muestran rectas con pendiente positiva, nula, negativa y no definida. — Figura 3 image

Preguntas que la gente también hace

¿Cómo se calcula el ángulo de inclinación de una rampa?

Consulta la solución completa arriba o explora el libro entero para temas relacionados.

¿Cómo saber si tres puntos son colineales usando pendientes?

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¿Qué significa que una recta tenga pendiente nula o no definida?

Consulta la solución completa arriba o explora el libro entero para temas relacionados.

📌 Antes de leer esto

• Reconocer el plano cartesiano
• Operar con números decimales y fracciones
• Usar la razón trigonométrica tangente
• Despejar variables en ecuaciones lineales

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Sistemas de ecuaciones lineales y posición relativa de rectas

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Observa e interpreta la siguiente tabla para la : 11. Analiza y escribe verdadero (V) o falso (F). selección de una rampa de acceso. ;

: a) Toda recta con pendiente positiva se inclina En la construcción de rampas siempre se debe : para la izquierda. seleccionar la rampa más larga posible: cuánto más;

larga sea la rampa, menor será la pendiente por : superar. : e) La pendiente de una recta determina el

ángulo de inclinación de la recta con el eje de las ordenadas.

b) La recta con m=0 es paralela al eje x.

Para usuarios independientes en sillas de rueda, se i recomienda se recomienda una pendiente máxima: de 1:7 para sillas de ruedas manuales empujadas por 212, Utiliza el concepto de pendiente para determinar aes

ayudantes y para sillas eléctricas, una máxima de 1:5. : si los puntos dados son colineales, es decir, si : i pertenecen a la misma recta (la pendiente debe fase | Altura por salvar (cm) a ser ig ual). |

80 ;

Ejemplo: para salvar 30 cm con ayudante: : a) (1,-1); (2,5; 0,5); (4, 2) b) (22,7), (3, 9) (1, -2)

| $0], 30x5=150.Rampa de 150cm font

40 ¿ E A

Ha Trabajo colaborativo 20 Para salvar 30 cm sin ayudante: i a o 30x7=210.Rampa de 210cm ¡ 13. Trabajen en equipo y resuelvan.

| a 25 50 75 100 125 150 175 200 225 250 275 300

Longitud dela rampa (en cm) Determinen el ángulo de inclinación de las

rampas de acceso con la siguiente información: -— Sillas de ruedas empujadas por un ayudante

e Usuarios Independientes B Al construir edificaciones se deben tener en Fuente: http//www.mundorampas.com/calcular-rampas.html — : cuenta los siguientes porcentajes de pendien- : tes para construir rampas.

a) Para salvar una altura de 40 cm con ayudante, : ¿qué longitud debe tener la rampa? i a) En edificios públicos, máximo 6 %. Angulo

b) Para salvar una altura de 40 cm sin ayudante, de inclinación.

¿qué longitud debe tener la rampa? E b) Para personas con discapacidad sin per- : sonal de asistencia, hasta 10 %. Ángulo de

€) Para salvar una altura de 20 cm con ayudante, E inclinación.

¿qué ángulo de inclinación debe tener ; la rampa? : e) Usuarios desillas con personal de asistencia,

d) Para salvar una altura de 10 cm sin ayudante, hasta 20 %. Angulo de inclinación.

¿qué ángulo de inclinación debe tener : la rampa? AN Actividad indagatoria : 14, Traza las siguientes rectas; emplea un progra- 10. Escribe la pendiente de las siguientes rectas. : ma informático o las TICs. Describe su monotonía, calcula las coordenadas :

de los puntos en que corta a los ejes coordenados a) y=-4x+12 c) y=6x

y represéntala gráficamente con ayuda de las TIC. b) 4x-8y=2 d) 4x=6 y=2x-3 ; 15, Identifica las rectas que tienen: Pendiente: Monotonía: :