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Monotonía: funciones crecientes y decrecientes

📄 ejemplo Matemática 🎓 secundaria · 10° EGB Ecuador 🇪🇨 EC 🗣 Español

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Respuesta rápida

La función es creciente en $[0;0,5]$ segundos y decreciente en $[0,5;1]$ segundos. La altura máxima es de $4$ pies y ocurre a los $0,5$ segundos.

Matemática ⭐⭐ Dificultad 2/5 ⏱ 4 min lectura

Solución — Página 113

Matematica 10° · Egb 10 Matematica 2025 · 2025

Funciones crecientes y decrecientes

Una función es creciente en un intervalo cuando, al aumentar la variable independiente, también aumenta el valor de la función. Si $x_1<x_2$ , entonces:

$f(x_1)<f(x_2)$

Una función es decreciente en un intervalo cuando, al aumentar la variable independiente, disminuye el valor de la función. Si $x_1<x_2$ , entonces:

$f(x_1)>f(x_2)$

Modelo matemático del salto

La altura del jugador después de $t$ segundos está dada por:

$f(t)=-\frac{1}{2}gt^2+16t$

Como $g=32\ \text{pies}/\text{s}^2$ :

$f(t)=-\frac{1}{2}(32)t^2+16t$

$f(t)=-16t^2+16t$

Esta función es una parábola que abre hacia abajo. Su punto máximo se alcanza en $t=0,5$ segundos, cuando la altura es $4$ pies.

Desde $t=0$ hasta $t=0,5$ , la altura aumenta; por tanto, la función es creciente.
Desde $t=0,5$ hasta $t=1$ , la altura disminuye; por tanto, la función es decreciente.

Además, el jugador parte del piso porque:

$f(0)=0$

y vuelve al piso en $t=1$ segundo porque:

$f(1)=-16(1)^2+16(1)=0$

Contenido de la página

Monotonía

Función creciente

Si $x_1<x_2$ , una función creciente cumple que $f(x_1)<f(x_2)$ .

Función decreciente

Si $x_1<x_2$ , una función decreciente cumple que $f(x_1)>f(x_2)$ .

Aplicación al salto de baloncesto

La altura está representada por:

$f(t)=-\frac{1}{2}gt^2+16t$

Con $g=32\ \text{pies}/\text{s}^2$ se obtiene:

$f(t)=-16t^2+16t$

La gráfica aumenta desde $t=0$ hasta $t=0,5$ y disminuye desde $t=0,5$ hasta $t=1$ . Por ello, el jugador se eleva durante el primer intervalo y desciende durante el segundo.

Ejemplos resueltos

Un jugador salta y su altura está dada por $f(t)=-16t^2+16t$ . Determina los intervalos en los que asciende y desciende.

La parábola abre hacia abajo y tiene su máximo en $t=0,5$ . Por tanto, la función es creciente en $[0;0,5]$ y decreciente en $[0,5;1]$ . El jugador asciende en $[0;0,5]$ segundos y desciende en $[0,5;1]$ segundos.

Tabla

Tiempo $t$ (s)	Altura $f(t)$ (pies)
$0$	$0$
$0,2$	$2,56$
$0,4$	$3,84$
$0,5$	$4$
$0,6$	$3,84$
$0,8$	$2,56$
$1$	$0$

Fórmulas y ecuaciones

$f(t)=-\frac{1}{2}gt^2+16t$

$f(t)=-16t^2+16t$

$f(x_1)<f(x_2)$

$f(x_1)>f(x_2)$

$f(t)=-\frac{1}{2}gt^2+16t$

$f(t)=-16t^2+16t$

$f(1)=-16(1)^2+16(1)=0$

Glosario (5)

Monotonía: Comportamiento de una función cuando aumenta o disminuye en un intervalo.
Función creciente: Función cuyos valores aumentan cuando aumenta la variable independiente.
Función decreciente: Función cuyos valores disminuyen cuando aumenta la variable independiente.
Modelo matemático: Representación mediante expresiones matemáticas de una situación real.
Constante gravitacional: Valor que representa la aceleración causada por la gravedad; en el ejemplo es $32\ \text{pies}/\text{s}^2$.

Temas y conceptos clave

MonotoníaFunciones crecientesFunciones decrecientesModelo cuadrático del salto de un jugadorUna función creciente aumenta sus valores cuando aumenta la variable independiente.Una función decreciente disminuye sus valores cuando aumenta la variable independiente.El vértice de una parábola que abre hacia abajo representa su valor máximo.La altura del jugador se modela mediante una función cuadrática.

Fuentes y referencias

lynk.ec/10m12eindaga

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Figuras de la página (3)

Gráfica de una función decreciente, con dos puntos que muestran que al aumentar $x$ disminuye $f(x)$. — Figura 2 image

Fotografía de un jugador de baloncesto saltando para encestar. — Figura 3 image

Tabla y gráfica de la altura del jugador durante el salto; la curva aumenta hasta $t=0,5$ y luego disminuye. — Figura 4 image

Preguntas que la gente también hace

¿Cómo se identifica si una función es creciente o decreciente?

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¿Cómo se determina el vértice de una función cuadrática?

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¿En qué intervalo alcanza su altura máxima un objeto lanzado al aire?

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📌 Antes de leer esto

• Comparación de números reales
• Interpretación de gráficas cartesianas
• Evaluación de funciones
• Operaciones con expresiones cuadráticas

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Análisis del vértice y de los intervalos de crecimiento y decrecimiento de una función cuadrática

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Monotonia ‘a

Funciones crecientes y decrecientes El hecho de que haya una discapacidad auditiva no significa que el tono de voz con

el que se habla debe ser exagerado o excesivo, Basta con que haya claridad al momento de comunicarse,

En páginas anteriores vimos que una función es creciente en un intervalo si:

Xt < x2, Entonces f(x1) < f(x2).

Archivo editorial.

Si la función es decreciente en un intervalo si:

x1 < x2, Entonces f(x1) > Á(X2).

Archivo editorial.

Modelos matemáticos

Shutterstock, 195961748

Cuando un jugador de baloncesto salta para encestar, la altura del jugador f(t) en pies desde el piso después de t segundos está dada por la fórmula:

ft) =- gt? + 164,

Juego de baloncesto

donde g es la constante gravitacional y equivale a 32 pies/s?. ¿En qué intervalo de tiempo el jugador se eleva para encestar?, ¿en qué intervalo de tiempo el jugador

baja luego de encestar? Ys Competencia digital

El comportamiento

. P i __ 1 pe Realicemos la gráfica de la función f(t) > gt? + 16t. Ae RS ARCS EStA

Como g = 32 pies/s”: f(t) =-16t? + 16t determinado por p PEO el crecimiento o | decrecimiento. Risas ada Elo : Ingresa a: [ae & H o lynk.ec/10m12 e indaga: | 3 & H ES ¿cuándo una función es [254 E ' o. | estrictamente creciente ete) { % o estrictamente | ; E las ' decreciente? E [105 deco 1 0 Blo + + t Y ¿| 0,1-0,2 03 04 05 06 0,7 08-09 1 5 < iit

El jugador se eleva para encestar entre [0 ; 0,5] segundos y desciende en un intervalo de tiempo comprendido entre [0,5 ; 1] segundos.

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